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1、第6课时 空间向量的数量积(2) 教学过程一、问题情境1.平面向量数量积的坐标表示及一些应用(1)对于平面内两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(2)长度、夹角、垂直的坐标表示①长度:a=(x,y)⇒
2、a
3、2=x2+y2⇒
4、a
5、=;②两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则
6、
7、=;③夹角:cosθ==;④垂直的充要条件:a⊥b⇔a·b=0,即x1x2+y1y2=0.(注意与向量共线的坐标表示的区别)[2]2.类比平面向量数量积的坐标表示,思考对于空间两个非零向量,它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢?二、数学建构问题1 对于单位正
8、交基底{i,j,k},有i·i=j·j=k·k=1,i·j=i·k=j·k=0.设空间两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),请同学们根据向量数量积的运算律推导a·b的坐标表示.解 若{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,则a=(x1,y1,z1)=x1i+y1j+z1k,b=(x2,y2,z2)=x2i+y2j+z2k,所以a·b=(x1i+y1j+z1k)·(x2i+y2j+z2k)=x1x2i2+y1y2j2+z1z2k2+x1y2i·j+x1z2i·k+y1x2j·i+y1z2j·k+z1x2k·i+z1y2k·j=x1x2+y1y2+z1z2.从而得两个空
9、间向量数量积的坐标表示公式:a·b=x1x2+y1y2+z1z2.即两个向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和.问题2 我们知道
10、a
11、2=a·a,即
12、a
13、=.如果a=(x1,y1,z1),那么
14、a
15、的值为多少?解 模长公式:若a=(x1,y1,z1),则
16、a
17、==.问题3 设空间两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),它们的夹角为,你能用坐标表示cos吗?解 由向量数量积的定义,可得cos==.特别地,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.问题4 请同学们使用向量方法推导A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离
18、公式.解 由=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)及模长公式得
19、
20、=.两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则dA,B=.三、数学运用【例1】 已知向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8).(1)求a·b;(2)若λ1a+λ2b与z轴垂直,求λ1,λ2满足的关系式.[3](见学生用书P59)[处理建议] 问题(1),引导学生根据向量数量积的坐标表示求解;问题(2),引导学生用坐标表示z轴(不唯一),再根据题设条件解题.[规范板书] 解 (1)a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=3×2+5×1+(-4)×8=6+5-32=-21.(2)因为(λ1a+λ
21、2b)·(0,0,1)=(3λ1+2λ2,5λ1+λ2,-4λ1+8λ2)·(0,0,1)=-4λ1+8λ2=0,所以λ1-2λ2=0.[题后反思] z轴可以用(0,0,1)表示,也可以用(0,0,2)等表示,这是无关紧要的,因为垂直只体现方向性,与长度无关.问题(2)为例2的理解作铺垫.变式 已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2).若
22、a
23、=6且a⊥b,求x+y的值.[规范板书] 解 因为a⊥b且
24、a
25、=6,所以解得或所以x+y=1或x+y=-3.[题后反思] 利用向量平行与垂直条件来确定向量坐标也是向量平行与垂直题目中重要的一部分,用定义列式后进行运算是需要经常训练的.【例2】
26、(教材第94页例3)已知A(3,1,3),B(1,5,0).(1)求线段AB的中点坐标和长度;(2)求到A,B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.[4](见学生用书P60)[处理建议] 问题(2),引导学生根据两点间的距离公式列出等量关系式后,教师可进一步引导学生探究空间轨迹问题.[规范板书] 解 (1)设M是AB的中点,O是坐标原点,则=(+)=[(3,1,3)+(1,5,0)]=,所以线段AB的中点坐标是.因为=(-2,4,-3),所以线段AB的长度为
27、
28、==.(2)设P(x,y,z)到A,B两点距离相等,则=,化简得4x-8y+6z+7=0.所以到A,B两点距离
29、相等的点P的坐标x,y,z满足的条件是4x-8y+6z+7=0.[题后反思] 平面内到A,B两点距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线,空间内到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂面.若将点P的坐标满足的条件4x-8y+6z+7=0的系数构成一个向量a=(4,-8,6),与=(-2,4,-3)共线.变式 写出到点C(1,-2,3)的距离等于4的点M(x,y,z)的坐标x,y,
