柴俊,丁大公,陈咸平 等 编 科学出版社 华东师范大学 高等数学 上下册 答案ch 4 mean value theorems

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1、第4章微分中值定理与导数之应用参考答案1、验证函数在上是否满足Lagrange定理条件？如满足，求出满足定理的。解：，故在处连续，从而在连续。，，，故在处可导，从而在内可导。因此，在上满足Lagrange中值定理的条件。于是得，或，故，。如下图所示。图1函数的图像132、设若，求证：方程在内至少有一个实根。证：构造函数，则。由Rolle定理，在内至少存在一点，使得。即。3、设在连续，在二阶可导，且，，求证：存在，使得。证法1：因，故由Rolle定理，存在，使得。又因，故在a的某个右邻域内，有。因此，存在，使得，由Lagran

2、ge中值定理，存在，使得。由Lagrange中值定理，存在，使得证法2：因，故存在，使得，但，故得。由Lagrange中值定理：存在，使得。存在，使得由Lagrange中值定理，存在，使得134、设在上可导，求证：的两个相异零点之间一定有的零点。证：设的两个相异零点为和，即。构造函数，则。由Rolle定理，存在，使得，即，于是得。5、用L’Hospital法则求下列极限：(1)（型）解：(2)（型）解：(3)（型）解：(4)（型）解：13，原式。(5)（型）解：，原式。(6)（型）解：。(7)（型）解：，原式。(8)（型）解

3、：6、利用Taylor公式求极限：13(1)解：(2)解：7、设在的某个邻域内二阶可导，且，试求，及的值。解法1：解法2：138、略9、略10、设，求证（）。证法1：考察函数，，，证法2：考察函数（），，时，即，此即所证不等式。11、设，求证。证：构造函数（）,则，时，时，，此即所证不等式。12、证明当时，。13证：考察函数，，当时，。故得第一个不等式。又构造函数，则，当时，。故得第二个不等式。13、求的极值。解：故得驻点：，不可导点。列表如下。函数图像见图2。19－不存在－不存在＋0－↓无定义↓极小值0↑极大值1/3↓13

4、图2函数的图像14、求在上的最小值。解：，得函数在上唯一驻点。，。故函数在处取得最极小值，即最小值1。如图3所示。13图3的图像15、求的最大、最小值。解：，得驻点。，，故最大值为，最小值为0。如图4。图4的图像16、求下列图形的拐点及上凸或下凸区间：(1)解：，，得零点。列表如下：13－0＋上凸拐点下凸图5的图像图6的图像(2)解：，，故函数在定义域上的图形为下凸。17、证明：当时，有。证法1：设，则，，故知在上↓。因，由Rolle定理，存在，使得。故在上，从而得；在上，从而得。因此，当时，；当时，。故时，总有，即。13证

5、法2：设，则。再令，则，故知在上↓。于是，在上。因此，，从而得。故当时，，即，此即所证不等式。证法3：设，则，，故知在上的图形是上凸的。因，故时，，即。18、证明。分析：即证。证：考察函数，则，，故在上的图形为下凸。于是，此即所证不等式。19、描绘函数的图形。解：1定义域：2令，得，。令，得。列表如下。1303＋0－－－不存在－0＋－－－0＋不存在＋＋＋↑上凸极大值↓上凸拐点↓下凸无定义↓下凸极小值↑下凸3渐近线因，故为竖直渐近线；又因，故斜渐近线为。如图7。图7函数之图像20、描绘函数的图形。解：1定义域：132，。令，得

6、。列表如下。2＋不存在－0＋＋不存在＋＋＋↑下凸无定义↓下凸极小值3↑下凸3渐近线因，故为竖直渐近线；又因，，故斜渐近线为。如图8。图8函数之图像如有错误，敬请指正；如有疑问，欢迎讨论！13