柴俊,丁大公,陈咸平等编科学出版社华东师范大学高等数学作业集答案ch_11_infin

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1、第11章无穷级数参考解答1、根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性:占3(200),故原级数收敛cn

2、解：恥若頁+估00),故原级数发散。2、用比较审敛法判别下列级数的敛散性:81⑴—肓„=]Z7V2/1+100解：lim=K

3、n—koI~3n21,而级数工二■收敛，故原级数收敛。n=l7nL(2)丈兰台1+戸解:lim=n->ool+〃2护1,°°1而级数发散，故原级数发散。⑶X2?，sin^7n=JVsin-解：lim=—5"5J(2、而级数工一n=I5丿收敛，故原级数收敛。(7?2

4、+P00⑷工Inn=In解：lim=—X—>89nr~vn20011而级数若却攵敛’故原级数收敛。（利用极限lim1+丄斤丿nse,或lim业L1)5X00,而级数工丄发散，故原级数发散。n=l斤3、用比值审敛法判别下列级数的敛散性:8⑴工"=1n2"—1n+in+12"—11解：hm二=—-鼻—=-CO丸2"—J2T-i5卄】(斤+1)!(72+1)解：lim——L55!n"4"丿->1,故原级数发散。e⑶zH-台（2町!解:(S+1)!)2°lim(

5、2刃+2)!=］讪__卑1)——=丄<1,故原级数收敛。(n!)(2m+1)(2m+2)42(4)^/?2arctan一3"解：lim斤+1)arctanzrarctan^!】，故原级数收敛。（利用极限血皿“x->°X3"4＞用根值审敛法判别下列级数的敛散性:00⑴工2n(3农+2)解:limrn—>oo2n2/22lim—=-<1,故原级数收敛。mg3/?+23opInn⑵丈亍（。〉

6、）n=Inn解」胡—皿〒pc故原级数收敛。SV2""TOO⑶£2+(_1)nco解：lim2""2+（°=£＜

7、］，故原级数收敛。n->oov2''5.判别下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛:00(1)解：In1+>In,且limIn"Toof+扌］=°，故原级数为Leibniz型交/丄〕错级数。但因lim、f,In1+00而工-y=■发散，故Yin1—厂一vn发散。因此，原级n-/?=!数条件收敛C(2)s(-irl-cos—"=

8、，且咕「，故原级数""TOO2sin2—为Leibniz型交错级数。但因limZ?T82"T~IVCO[8O而工厶收敛，故y2sin2—收心才n=l2斤敛。因此

9、，原级数绝对收敛。⑶fcos^(即£少)“=1n/：=i“解：丄〉丄，且lim丄=0,nn+1“Fn故原级数为Leibniz型交错级数。但因乞丄发散，故原n=l"393解:u=—cos——2sin~—,u>wn,.n2n二冲<0,故函2xJx1lnx解：考察函数/（x）=护，因x>e2时，.厂（兀）=数/（兀）在（，,+00）上单调下降。由此可知,当〃〉8时，学〉y/n紳"+D,且易知Vn+1卑=0,故原级数为Leibniz型交错级数。Inn但因lim&^=+oo,"T81001而工-尸发散，

10、故/?=!J"oo1工学发散。因此，原级数条件收敛。心yjn6、求下列幕级数的收敛区间:81⑴爲2+1"']44(/7+1)2+14h24-1解：Q=lim―J—=lim/i—>oo1n—>0014/72+14（M+L'故得心。兀=1时，级数为818(―I)"若齐；时，级数为着需，上述级数均收敛，故原幕级数的收敛区间为］解宀怛竺久呢借T故得心亠2时，级数遞寻2"（刃+1）此系Leibniz型交错级数；x=-2吋,级数为£丄，此系调和级数。故原幕级数的收敛,；=oH+1区间为(一2,2］。⑶丽)2"

11、亡“=000解：原幕级数即为工2"n=01+Vhx2H,此为缺项幕级数。因2n+12/?+2limn->oo故由2x2<1,得7?=-^cx=土缶81时，级数均成为Y~,发散。故原幕级”=0/?+1+>/〃数的收敛区间为__L_L「厉01解：p==故得/?=1ox7?—>8I2/2-1“时，级数为£召，发散；"2时,8(―1丫'级数为工系Leibniz型交错级数。故原幕级数的收敛区间为(1,2］。心02n一1门（砂"£*=亡’T（兀）/:=1丄兀（1一兀）故得S（兀）=aT（兀）=XG（-1,l）

12、o8f72（5）y—S+i）2解：p=lim'o八=0,故得R=+o原幕级数的收敛区间为（y）,+oo）7、利用逐项求导或逐项积分求下列幕级数的和函数:00（1）ynxn77+1解：p=lim-—=1,故得R=.兀=±1时，相应的级数均发散（一般项不趋于零）。"TOO0000故幕级数的收敛区间为（―1,1）。设5（x）==x7（x）则n=82/2+1⑵£?J=1x2n+2解：lim——=x2,故得RT。x=±l时，相应的级数均发散。故幕级数的2812,:2；?+r收敛区间为（-