五猴分桃类型题简易通解公式及推导

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1、“五猴分桃”类型题简易通解公式及推导“五猴分桃”的前身是“水手分椰子”。这是一个非常有名的趣味数学难题,于1926年首先刊登在美国的邮报上。剧说，最早是由伟大物理学家狄拉克提出来的,这一貌似简单的问题曾困扰住了他，为了获得简便的计算方法，他把问题提供给当时的一些数学家,但没有得到满意的结果。1979年，“诺贝尔"物理学奖获得者李政道博士在“中国科技大学少年班”讲学时，特意提到此题；此后，研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内。曾对“五水手分椰子”的广泛流传,起过重要作用的,著名现代数理逻辑学家怀德海,曾用高阶差分方程理论的通解和

2、特解的关系，对“水手分椰子”一题,给出过一个答案为(-4)的巧妙特解。近十多年来，在后来者的不断努力下，一些比较简便的方法也逐步涌现。但严格的来说：目前所取得的成果,其本上还是仅限于“五猴分桃”这样一个具体的题目上，离全面彻底而又简捷地求解所有这种类型的题目，还存在着一定的距离。本人曾于1979年,在月刊《中国青年》看到(五猴分桃)一题,并用不定方程求得其解。当时,本人觉得就题论题意义己不大。于是通过五、六天的努力,终于演算出，能求解所有这种类题型的完整、简捷的“通解公式”(影响答案的各困素可以任意取值,并可非常简易的求解，详

3、见下面的计算公式和例题)：但是，由于当时自己在乡下,信息闭塞,不知道这个“通解公式”有何意义。一幌三十多年又过去了，前段时间,因经常上上网,于是惊呀发现:寻找“五猴分桃”类型题的简易计算方法，竟是一个具有深刻背景的，已研论了二、三十年的热门数学话题；而且至今仍未找到完美解决方法。于是自己边回想、边演算，终于又重新推导出了“五猴分桃”类型题的简易“通解公式”。现将其发表如下，与大家共同分享。“水手分椰子”类型题完整而又简易的通解公式：y=an－db/cy－被分的某东西的总个数,a－每次分的总份数(一般情况下，是总人数)，n－总共

4、分的次数，c－分a份后拿走的份数，b－每次分a份后的余数，d－每次分a份拿走c份后剩下再分的份数，注；当b/c不为自然数时，则此时该题无解,也即y无解。其推导过程如下:设，最后一个人看到的某物数是:ax+b(x为最后一次分a份后每份的数)那么，前一个人看到的某物数为:(xa+b)a/d+b=xa2/d+ba/d+b再前一个人看到的某物数为:(bxa2/d+ab/d+b)=xa3/d2+b(a/d)2+ba/d+b同样有，再前一个人看到的某物数为xa4/d3+b(a/d)3+b(a/d)2+ba/d+b：再前一个人看到的某物数为

5、:y=xa5/d4+b(a/d)4+b(a/d)3+b(a/d)2+ba/d+b=[xa5+(ba4+dba3+d2ba2+d3ba+d4b)]/d4根据等比数例递推公式并加以整理后有：y={xan+{an-1[1-(d/a)n/(1-d/a)]}b}/dn-1={xan+[a(n-1[1-(d/a)n]ba/c}/d(n-1)={xan+[a(n-1)-（a(n-1)dn/an)]ad/c}/d(n-1)=[xan+(an-dn)b/c]/d(n-1)=[(xan+anb/c)-dnb/c]/d(n-1)=(xan+anb/

6、c)/d(n-1)-db/cy=an(x+b/c)/d(n-1)-db/c上式中的a(a/d)^(n-1)部分,若出现(a/d)有公约数时不得约分，否则a和d原有的定义就不存在了，同时也无法解题。故上式应进一步写成：y=an[(x+b/c)/d(n-1)]-db/c从上式可看出：若b/c不为自然数时，则(x+b/c)/d^(n-1)不为整数,故下式通解公式此时也无解；若b/c为自然数,则(x+b/c)d^(n-1)必可取得最小自然数1,或1的任意整倍数。通常在计算时，为了简单,一般取最小自然数1,则上述方程的演算和推导最后可写

7、成下述简易通解公式：y=an-db/c现在用上述“通解公式”来求解,本人在今年四月份的博客中(博客地址http://blog.sina.com.cn/u/2705935891)，12日、15日和16日所出的三道此种类型题目例一,在《九猴分桃》中：a=9,n=7,b=8,d=7,c=2根据上述“通解公式”有：y=97－8×7/2=4782969－28=4782941，（这也是第1个猴子看到的桃子数量）下面接着验算：第2个猴子看到的桃子数量为：4782941－8÷9×7=3720059，第3个猴子看到的桃子数量为：3720059－

8、8÷9×7=2893373，第4个猴子看到的桃子数量为：2893373－8÷9×7=2250395，同样有，第5个猴子看到的桃子数量为：1750301，第6个猴子看到的桃子数量为：1361339，第7个猴子看到的桃子数量为：1058813，又如,《十六水手分椰子》中a=16,