不等式的综合问题

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1、不等式的综合问题　　从近几年的高考试题来看，不等式以函数、数列、导数为载体综合出题．《不等式》在知识与方法的交汇点处设计命题，主要有以下几种情况：1．函数、方程与不等式的综合问题在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重．例1已知函数满足，是否存在常数，使得不等式对一切实数都成立．策略：这是一道探索性命题，可在解题时先假设成立．探索参变数值时，要充分利用二次函数的性质．　　解析：对一切实数都成立，　　取，有．　　．　　　　　　　　　　①　　又，得．　　　②由

2、①，②知，代入题设不等式，得，　　即　　又③，④对于恒成立，　　有解得．　　．　　因此取时，能使不等式恒成立．　　不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．方程思想是解决求参数的取值范围问题的重要方法．1．不等式与数列的综合问题数列的通项公式、前项和公式、裂项相消、错位相减都可以将多项甚至是无限项转化到简单因式的证明．这一思路对于处理与正整数有关的不等式问题有很好的作用．这实际上是利用数列的理论达到对不等式化简的目的，不等式是一个工具，应用不等式的性质以及放缩法、比较法等方法来处理数列．例1已知．求证．分析：虽然待征不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其

3、“形”，它具有较好的规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解决．　　证明：设，，　　则问题转化为证明．　　又，　　所以只需证明数列是递增数列即可．　　设，则，即，所以．1．解决不等式有关的实际问题解答不等式应用题，一般可分如下四步：（1）阅读理解材料：应用题所用的语言多为文字语言、符号语言、图形语言．我们要认真阅读，细心领悟问题的实际背景，分析各个量之间的关系．（2）建立不等式模型：根据（1）中的分析，把实际问题抽象成不等式模型．（3）解不等式模型：根据（2）中建立起来的数学模型和题目要求，经过推理演算得到不等式模型的解．（4）作出问题结论：根据（3）中得到的模型的解，结合题目要求

4、作出问题结论．例3　（2001年上海）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位的水可洗掉蔬菜上残留农药的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用个单位的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（1）试规定的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；（3）设，现有个单位的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少？说明理由．解析：（1）规定，它表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样；（2）函数应满足的条件和具有

5、的性质是：，在上单调递减，且；（3）设仅清洗一次，则残留的农药量为；把水平均分成2份，清洗两次后残留的农药量为，则由．可得：①当时，；②当时，；③当时，．所以，当时分两次清洗，蔬菜上的农药量比较少，当时，两种方案清洗后蔬菜上的农药量一样多；当时，清洗一次，蔬菜上的农药量比较少．