不等式综合问题

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1、不等式综合问题一、问题背景不等式主要包括一元二次不等式、线性规划、基本不等式，不等式综合问题既有不等式内部知识的综合，又有不等式与其他数学分支的交汇.二.常见的思想方法主要思想：等价转化思想、化归思想等.具体方法包括恒等变形、“换元法”、构造函数方程等.三、范例例1(1)已知正实数X,y满足x+?+3y+《=10,则卩的取值范围为xy94X(2)已知正实数x,y满足x+兰+3尹+上=10,则二的取值范围为xyy814【答案】⑴吋⑵討X【思路】利用基本不等式构造关于卩和丄的不等关系，通过解不等式求范围.【解答

2、】(2)10=(x+-)+(-+3y)>2(x+-)(-+3y)=23xy+—+14,yxyyxyxyQ解得矽的取值范围为［1,一］.6y4x24/2416v4y(2)10=(X+3y)+(-+-)>2a(X+3y)(-+-)=2+—+14,xyvxy1xyx14解得丄的取值范围为y23例2已知正实数x,”z满足OSlo^x—logdP+lo^zG,且x+pS2z,则兰二Z的取值范围为【答案】冷,呼］.Y7【思路】将条件转化为关于丄，土的二元关系，构造图形解题.yyxzzY<2【解答】由条件得15二52，

3、令-=U.-=y，贝IJ一~,y2yy[V+<2Ux—vV—1建立坐标系UOV,则一L二——可以看作点(SV)与(0,1)连线斜率.zU两个极限位置：一是直线与v=-相切，一是过点G叵’，西二)，U42则口Z的取值范围为[-土,5-V172-例3某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染.为减少对坏境的影响，坏保部门迅速反应，及时向污染河道投入固体碱.1个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度/(X)与时间x(小时)的关系可近似地表示为:Y62--0

4、只有当污染河道水中碱的浓度不低于丄时，才能对污13

5、X1,解得1K3或3H,1——>-63即1

6、时，g(x)=--(^—!-+—)<—-2>/2,当且仅当匕=上33x-33x-1X=1+3血w(4,6)时等号成立；当60,所以当X=1+3V2时，水中碱326■浓度的最大值为巴-2血.3答:第一次投放1单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为3小时;第一次投放1

7、+3血小时后，水中碱浓度的达到最大值为¥-2妊四、练习74题1(1)己知正实数x,y满足x+兰+3尹+丄=10,则可，的取值范围为xy94X(2)已知正实数x,y满足兀+兰+3丿+—=10，则一的取值范围为•Vyy814【答案】⑴［1,-］:(2)X【思路】利用基本不等式构造关于卩和丄的不等关系，通过解不等式求范围•42428【解答】（1）10=（X—）+（—H3尹）n2（xH—）（—h3y）=23xyH14,yxYyxvxyQ解得卩的取值范围为［1,一］.(2)10=(兀+3^)+(-+-)>2J(x+3

8、^)(-+-)=2J^+—+14,xyyxyyxyx14解得一的取值范围为y23题2已知正实数X,y,z满足°5log?x-log"y+log2z