三角形四心竞赛讲义

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1、三角形四心竞赛讲义一、“四心”分类讨论11、外心12、内心23、垂心34、重心55、外心与内心66、重心与内心67、外心与垂心78、外心与重心89、垂心与内心810、垂心、重心、外心8旁心9二、“四心”的联想91、由内心、重心性质产生的联想92、重心的巧用113、三角形“四心”与一组面积公式12三角形各心间的联系15与三角形的心有关的几何命题的证明16三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学

2、生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点。92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。△ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC。(2)∠A=。如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关

3、系定理，就可以大显神通了。下面我们举例说明。例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心．已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′分别是BC，AC，AB边的垂直平分线，求证：XX′，YY′，ZZ′相交于一点(图3－111)．分析先证XX′，YY′交于一点O，再证O点必在ZZ′上即可．证因为XX′，YY′分别是△ABC的BC边与AC边的中垂线，所以XX′，YY′必相交于一点，设为O(否则，XX′∥YY′，那么∠C必等于180°，这是不可能的)．因为OB=OC，OC=OA，所以OB=OA，所以O点必在AB的

4、垂直平分线ZZ′上，所以XX′，YY′，ZZ′相交于一点．说明由于O点与△ABC的三个顶点A，B，C距离相等，所以以O点为圆心，以OA长为半径作圆，此圆必过A，B，C三点，所以称此圆为三角形的外接圆，O点称为三角形的外心．例1、如图9-1所示，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆。分析一、O是外心，作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ。易知OE=OF，BE=AF，从而Rt△OPF≌Rt△OQE，于是∠P

5、=∠Q，从而O、A、P、Q四点共圆。分析二、延长BA至G，使AG=AP，连接OP、OA、OG、OQ，并作OE⊥AB于E(图略)。利用△PAO≌△PGO和△QEO≌△GEO也可证得结论。例2、如图9-2所示，在△ABC的大边AB上取AN=AC，BM=BC，点P为△ABC的内心，求证：∠MPN=∠A+∠B。分析、连接PA、PB、PC及PM、PN。由已知易证△APC≌△APN，△BPC≌△BPM。从而△PC=PN，PC=PM，即PM=PN=PC。故P为△CMN的外心，此时有∠MPN=2∠MCN。而∠CAN=90º－∠A，∠BC

6、M=90º－∠B，故∠ACN+∠BCM=180º－(∠A+∠B)，即∠MCN+∠ACB=180º－(∠A+∠B)，则∠MCN=(180º－∠ACB)－(∠A+∠B)=(∠A+∠B)。故∠MPN=2∠MCN=∠A+∠B。例3、AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQ⊥AB。分析、延长EP到K，使PK=PE，连KF、AE、EF、BF，直线PQ交AB于H(图9-3)。因∠EQF=∠AQB=(90º－∠1)+(90º+∠2)=∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP，又由PK=PE=

7、PF知∠K=∠PFK，故∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK=180º，从而E、Q、F、K四点共圆。由PK=PF=PE知，P为△EFK的外心，显然PQ=PE=PF。于是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ABF=90º。由此知QH⊥AH，即PQ⊥AB。2、内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。△ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。(2)∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等

8、距(即D为△BCI的外心)。(3)∠BIC=90º+∠A，∠CIA=90+∠B，∠AIB=90º+∠C。例1证明：三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的内心．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是∠A，∠B，∠C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点(图3－110)．证因为AX，BY是∠A，∠B的平分线，所