椭圆、双曲线、抛物线 教学设计

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1、椭圆、双曲线及抛物线一、教学目标：1.知识目标：（1）了解椭圆、双曲线及抛物线的定义，理解它们的标准方程，能根据已知条件写出它们的方程；（2）由椭圆、双曲线及抛物线的方程知道它们的焦点坐标，了解图形的类型．2.能力目标：培养学生的数形结合能力和逻辑思维能力.3.思想品质目标：对学生进行爱国主义教育，并培养学生对新问题勇于探索的精神.二、教学重点：对椭圆、双曲线及抛物线方程的讨论.三、教学难点：对椭圆、双曲线及抛物线方程的讨论.搞清标准方程中系数的几何意义，是突破难点的关键.四、教学方法：讲授法、图示

2、法、归纳法与练习法相结合.五、教学过程：（一）椭圆1．问题的引入2003年10月15日９时整，我国自行研制的“神舟”五号载人飞船载着航天员杨利伟在中国酒泉卫星发射中心发射升空，飞船在变轨前绕地球运行的轨道是椭圆，见图5-23. 图5-24M图5-23椭圆是一种常见的曲线，如汽车油罐横截面的轮廓，天体中一些行星和卫星运行的轨道等．请同学们准备一条一定长的绳子、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆：（1）将绳子的两端固定在画板上的和两点，并使绳长大于和的距离，如图5-24所示；（2）用铅笔尖把绳子

3、拉紧，并在画板上慢慢移动，画出一个椭圆．从上面的画图中，我们可以看出，绳子的长度是保持不变的，椭圆是由到点和的距离的和等于绳长的所有点组成的．我们把平面内与两个定点、的距离之和是常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．练习题5．4．1.1请同学们按照上述方法用一条一定长的绳子，并改变两定点间的距离在画板画几个椭圆，并说出随着两定点的距离的变化，椭圆的形状有什么变化，试着找出其中的规律．图5-25xyOM解答：画图略.两定点间的距离越大，椭圆越扁；两定点间的距离

4、越接近于0，椭圆越接近于圆.2椭圆的标准方程根据上面画椭圆的步骤来研究椭圆的方程．取过焦点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图5-25所示．设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为（＞0），椭圆上的点与两个定点、的距离之和为（＞0），则，的坐标分别为，由条件，可以得到方程x图5-26yO，（5．11）其中.可以证明，如果点的坐标满足方程（5．11），那么点一定在椭圆上．因此方程（5．11）叫做焦点在轴上的椭圆的标准方程．若如图5-26所示，取过焦点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，

5、建立平面直角坐标系，用同样的方法可以得到它的方程为，（5．12）其中,方程（5．12）叫做焦点在轴上的椭圆的标准方程．想一想：已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x轴还是在轴？回答：一般地，比较x、y分母的大小即可判别.例1已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为8，椭圆上一点到两个焦点距离之和等于10，写出椭圆的标准方程．解由已知有，即，，所以，由于椭圆的焦点在轴上，因此椭圆的标准方程为，即.想一想：如果将例1的已知条件“椭圆的焦点在轴上”删去，其余条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？图5-27xyoA2

6、A12B2B1回答：当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为.例2求椭圆的焦点坐标和焦距．解这是焦点在x轴的椭圆的标准方程.故，，即.所以焦点坐标为，焦距．如图5-27所示，椭圆与坐标轴的交点分别为A1（−a，0）、A2（a，0）、B1（0，−b）、B2（0，b），线段A1A2和B1B1分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长度分别为2a和2b.练习题5．4．1.21．求满足下列条件的椭圆标准方程：（1），焦点为（2），焦点为（3），焦点为2．求下列椭圆的焦点坐标和焦距．；；.参

7、考答案：1．；；；2．（1）焦点坐标，焦距=2；（2）焦点坐标，焦距；（3）焦点坐标，焦距=2．（二）双曲线1．双曲线的定义图5-28xyO大家知道，反比例函数的图像是双曲线（图5-28）；一个发电厂通风塔的纵截面的外部轮廓也是双曲线的一部分（图5-29）.图5-29          下面我们取一条两边长度不等的拉链，如图5-30所示，将拉链的两边分别固定在两个定点（拉链两边的长度之差小于的距离）上，把铅笔尖固定在拉链琐口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢慢移动，就可以画出双曲线的一部分．将拉链的两边交

8、换位置分别固定在处，用同样的方法可以画出双曲线的另一部分．图5-30xy从上面的作图过程，我们可以看出，拉链两边的长度之差是保持不变的定值，双曲线是由与点的距离的差等于定值的点组成的．我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．2．双曲线的标准方程根据上面所说的双曲线的画法来研究双曲线的方程．取过焦点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图6-31所示．用与