2018版高中数学人教b版必修四学案3.2.2 半角的正弦余弦和正切

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1、3.2.2　半角的正弦、余弦和正切[学习目标]　1.了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程.2.能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．[知识链接]1．代数式变换与三角变换有什么不同？答　代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．2．倍角公式(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos_α.(2)C2α：cos2α＝co

2、s2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)T2α：tan2α＝.[预习导引]1．半角公式(1)S：sin＝±；(2)C：cos＝±；(3)T：tan＝±(无理形式)＝＝(有理形式)．2．半角公式变形(1)sin2＝；(2)cos2＝；(3)tan2＝.5要点一　三角函数的求值例1　已知sinα＝－且π<α<π，求sin，cos，tan的值．解　∵sinα＝－，π<α<π，∴cosα＝－.又<<π，∴sin＝＝＝，cos＝－＝－＝－，tan＝＝－4.规律方法　对于给值求值问题，其关键是找出已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般需适当变换已知式

3、或变换所求式，建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．跟踪演练1　已知sinα＝，sin(α＋β)＝，α、β均为锐角，求cos的值．解　∵0<α<，sinα＝，∴cosα＝＝.又∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.若0<α＋β<，∵>，即sinα>sin(α＋β)，∴α＋β<α不可能．∴<α＋β<π.5又∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.而0<β<，0<<，∴cos＝＝.要点二　三角函数的化简例2　化简：(0<θ<π)．解　原式＝＝＝－

4、.∵0<θ<π，∴0<<，∴cos>0，∴原式＝－cosθ.规律方法　(1)式子中含有1＋cosθ，1－cosθ等形式时，常需要用半角公式升幂．(2)在开方时要注意讨论角的范围．跟踪演练2　化简：.解　由tan＝＝＝，5则原式＝＝＝1.1．设5π＜θ＜6π，cos＝a，那么sin等于(　　)A．－B．－C．－D．－答案　B解析　由cos＝1－2sin2得sin2＝，又5π＜θ＜6π，∴＜＜.∴sin＜0.∴sin＝－.2．已知cosθ＝，且270°＜θ＜360°，则cos的值为(　　)A.B．－C．±D．－答案　B解析　∵cosθ＝2cos2－1，∴cos2＝，∵27

5、0°＜θ＜360°∴135°＜＜180°，∴cos＜0，∴cos＝－＝－＝－.3．已知sinα＝－，且α为第三象限的角，则tan等于(　　)A．－B．－C.D.答案　A5解析　由sinα＝－，且α为第三象限的角，得cosα＝－.所以tan＝＝＝－.4．若cos22°＝a，则sin11°＝________，cos11°＝________.答案　　　解析　cos22°＝2cos211°－1＝1－2sin211°，∴cos11°＝＝，sin11°＝＝.　1.半角公式前面的正负号的选择(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号；(2)若给出角α的具体范围时，则根

6、号前的符号由角所在象限确定；(3)若给出的角α是某一象限的角时，则根据角所在象限确定符号．2．半角公式的三个变式(1)sin2＝；(2)cos2＝；(3)tan2＝，在实际进行三角函数的化简、求值、证明时经常用到．5