2018版高中数学苏教版选修1-1学案：2.3.2 双曲线的几何性质

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1、2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案2．3.2　双曲线的几何性质学习目标　1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．知识点一　双曲线的几何性质思考　类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？　　梳理　标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围对称性对称轴：________对称中心：________对称轴：________对称中心：________顶点坐标渐近线y＝±xy＝±x

2、离心率e＝，e∈(1，＋∞)知识点二　双曲线的离心率思考1　如何求双曲线的渐近线方程？　132017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案思考2　在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？　　梳理　双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的________，其取值范围是________．e越大，双曲线的张口________．知识点三　双曲线的相关概念1．双曲线的对称中心叫做双曲线的________．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做________双曲线，它的渐近线

3、方程是________．类型一　已知双曲线的标准方程研究几何性质例1　求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．　　反思与感悟　已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．　　　　132017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程例2　求适合

4、下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．　　反思与感悟　(1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a，b，写出方程．(2)①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ

5、a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝；(3)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．　　类型三　求双曲线的离心率例3　分别求适合下列条件的双曲线的离心率：(1)双曲线的渐近线方程为y＝±x；(2)双曲线－＝1(0

6、式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件00，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．　　类型四　直线与双曲线的位置关系例4　斜率为2的直线l被双曲线－＝1截得的弦长为，求l的方程．引申探究若某直线l与本例中的双曲线相交，求以点P(3，1)为中点的直线l的方程．　　反思与感悟　(

7、1)求弦长的两种方法①距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．②弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)132017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝

8、x1－x2

9、＝

10、y1－y2

11、.特别提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况．(2)中点弦问题与弦中点有关的问题主要用点差法，根与系数的关系解决．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点

12、、弦长等问题解决．跟踪训练4　设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.