2018版高中数学人教b版选修2-1学案：3.1.3 两个向量的数量积

《2018版高中数学人教b版选修2-1学案：3.1.3 两个向量的数量积》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2018年人教B版高中数学选修2-1学案3.1.3　两个向量的数量积学习目标　1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．知识点一　两个向量的数量积思考1　如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．思考2　等边△ABC中，与的夹角是多少？梳理　(1)定义：已知两个非零向量a，b，则

2、

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________交换律a·b＝________分配律(a＋b)·c＝________知识点二　两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：〈a，b〉∈________.特别地：当〈a，b〉＝________时，a⊥b.知识点三　两个向量的数量积的性质102018年人教B版高中数学选修2-1学案两个向量数量积的性质①若a，

7、b是非零向量，则a⊥b⇔__________②若a与b同向，则a·b＝________；若反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝______或

8、a

9、＝③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝________④

10、a·b

11、≤

12、a

13、·

14、b

15、类型一　空间向量的数量积运算命题角度1　空间向量数量积的基本运算例1　(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明．①p2·q2＝(p·q)2；②

16、p＋q

17、·

18、p－q

19、＝

20、p2－q2

21、；③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直．(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，

22、a

23、＝3，

24、b

25、＝4，

26、求：①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b)．反思与感悟　(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算．(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝

27、a

28、2及数量积公式进行计算．跟踪训练1　已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

29、a＋3b

30、等于(　　)A.B.C.D．4命题角度2　利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2　已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)·；(2)·；(3

31、)·.反思与感悟　两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．102018年人教B版高中数学选修2-1学案零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．跟踪训练2　已知正四面体OABC的棱长为1，求：(1)(＋)·(＋)；(2)

32、＋＋

33、.类型二　利用数量积求夹角或模命题角度1　利用数量积求夹角例3　已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．反思与感悟　利用向量求异面直线夹角的方法跟踪训练3　已知：PO、PA分别是平

34、面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA.求证：l⊥PA.命题角度2　利用数量积求模(或距离)例4　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．反思与感悟　102018年人教B版高中数学选修2-1学案利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式

35、a

36、＝求解即可．跟踪训练4　如图，已

37、知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．类型三　利用空间向量的数量积解决垂直问题例5　如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.反思与感悟　(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练5　已知向量a，b满足：

38、a

39、＝2，

40、b

41、＝

42、，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．1．已知a，b，c是两两垂直的单位