线性代数 西南交大出版社 许彪 谢巍 兰恒友

《线性代数 西南交大出版社 许彪 谢巍 兰恒友》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、线性代数第一章习题答案A组一、解：（1）（2）（3）（4）二、（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：3.解：4.解：，而的展开式中只有中含有项，又=，所以中含有的项为，则中的系数为-1.5.证明：（1）证毕（2）证毕6.解：（1）方程组的系数行列式，而则（2）方程组的系数行列式而则7.解：，齐次线性方程组有非零解，则，即，从而.8.解：,齐次线性方程组有非零解时，，即.B组1.解：因是方程的根，则，而，所以2.解：(1)(2)将行列式加边，得新的行列式，则由范德蒙行列式知，其中的系数为将行列式按第五列展开，，所以中的余子式即为所求的行列式，则(3

2、)将按第二列展开，得(4)行列式除对角线上以外，其他元素都相等，将第三列的-1倍分别加到其他各列，得(5)原式(6)原式由范德蒙行列式知，所以所求行列式3．证明：(1)证毕.(2)将行列式按最后一行展开，则证毕(3)将行列式按第一列展开，得证毕.(4)将行列式一行展开，得又因为，，则.证毕4.解：因，则该方程组系数行列式为所以即.5.解：则有2个根.6.证明：,,且在连续，在可导，由定理知，必存在一点，使成立.证毕习题二A组1.设(1)计算;(2)若X满足,求X;(3)若Y满足,求Y;解：（1）3A-B=-=。2A+3B=+=。（2）因A+X=B，则X=B-A，即X=

3、-=。（3）因为（2A-Y）+2（B-Y）=0，所以3Y=2A+2B，即Y=（A+B）=（+）==。1.计算下列矩阵的乘积:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7)( 为正整数);(8)设,求ABA;解：(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)；(7)令Dk=（k为正整数），则当k=2时，有：D2==；假设Dm==成立，则Dm+1==；故有=。(8)设,求ABA1.举例说明下列命题是错误的(1)若,则;(2)若,则或;(3)若,则;【解】(1)以三阶矩阵为例，取,但A≠0(2)令,则A2=A,但A≠0且A≠E(3)令则AX=AY,但X≠Y.1.写出下

4、列线性变换对应的线性变换矩阵,并写出到的线性变换矩阵2.已知矩阵,其中,＝(2,－1,2),求矩阵.解;3.设A与B是两个n阶对称阵.证明(1)当且仅当AB=BA时,AB也是对称阵;(2)2A-3B也是对称阵,AB-BA是反对称阵;【证明】(1)已知AT=A,BT=B，若AB是对称阵，即(AB)T=AB.则AB=(AB)T=BTAT=BA,反之，因AB=BA,则(AB)T=BTAT=BA=AB,所以，AB为对称阵.(2)因为，所以2A-3B也是对称阵；又因为所以AB-BA是反对称阵;1.设A为3阶方阵,且,求的值.解2.设A为3阶方阵,,,且,求的值.解因，且，则，反

5、证法证明上述结论：若，则B可逆，存在,又因则，则,这与矛盾，故有，又，所以故3.求下列矩阵的逆矩阵(1);(2);(3);(3)4.解下列矩阵方程(1);(2);(3);(4);5.设,求所有与A可交换的矩阵.【解】设与A可交换的方阵为,则由=,得.由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.1.设三阶方阵A,B满足关系式,且求矩阵B.解：由得又所以2.设矩阵A,B满足关系式,其中求矩阵B.【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A.而即A-2E可逆，故1.设,其中求解显然可逆，且由得，而故.2.设n阶方阵A的伴随阵为,证明

6、:（1）若,则;（2）【证明】（1）若

7、A

8、=0，则必有

9、A*

10、=0，因若

11、A*

12、≠0，则有A*(A*)-1=E,由此又得A=AE=AA*(A*)-1=

13、A

14、(A*)-1=0,这与

15、A*

16、≠0是矛盾的，故当

17、A

18、=0，则必有

19、A*

20、=0.(2)由AA*=

21、A

22、E，两边取行列式，得

23、A

24、

25、A*

26、=

27、A

28、n,若

29、A

30、≠0，则

31、A*

32、=

33、A

34、n-1若

35、A

36、=0,由(1)知也有

37、A*

38、=

39、A

40、n-1.1.利用初等行变换化下列矩阵为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.(1);(2);2.利用初等变换求矩阵的秩(1);(2);(3);3.利用初等变换求逆矩阵(1);(2);(3);(4)

41、;B组1.设且矩阵A满足方程,求A.2.设且,求X.1.设A为三阶方阵,且,求行列式的值.2.设A为 n阶方阵,满足,且,求.3.已知E+AB可逆,证明E+BA可逆,且.4.设为一实数范围内的多项式,A为一n阶方阵,称为矩阵A的多项式.若,求.5.已知n阶方阵,求中所有元素的代数余子式之和.6.设,求.7.讨论n阶方阵A的秩8.设方阵B为满秩矩阵,证明R(BC)=R(C)9.设且R(A)=3,求的值.10.设4阶方阵A的秩为2,求的秩.11.3阶实矩阵A满足,求(1);(2)若,求X.1.设的矩阵A是秩为,求证A可以表示为个秩为1的矩阵之和.2.设A