群论在魔方中的应用

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1、苏州大学硕士学位论文群论在魔方中的应用姓名：朱磊申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：施武杰20080401群论在魔方中的应用摘要摘要本文从群论的角度讨论了魔方(Rubik’scube)的数学性质．首先，本文以魔方作为工具，展示了群论中的各种概念及其相关性质的实际应用，如置换，作用，轨道，传递性，本原性，共轭，换位子，同态；其次，介绍了魔方群的结构；最后，作为本文的核心，将魔方群对应的Cayley图直径下界由20提升到21．关键词：魔方，置换群，直径，下界作者：朱磊导师：施武杰ApplicationsofGroupThoeryinR

2、ubik’SCubeAbstractofGroupThoeryinRubik’SCubeAbstractThispaperdiscussedthemathematicalpropertiesoftheRubik’scubefromtheview-pointofgrouptheory．Firstofall，takingtheRubik'scubeasatool，thispaperdemon-strafedthepracticalapplicationsofallkindsofconceptsmadtheirrelevantproperti

3、esingrouptheory,suchaspermutation，action，orbit，transitivity,primitivity,conjuga-tion，commutatorandhomomorphism；secondly,thispaperintroducedthestructureoftheRubik’Scubegroup；Atlast，asthecoreofthispaper，itpromotedthelowerboundofthediameteroftheCayleygraphwithrespecttotheRu

4、bik’Scubegroup，from20to21．Keywords：Rubik’Scube，permutationgroups，diameter，lowerboundIIWrittenbyL．ZhuSupervisedbyProf．WJ．Shi苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明学位论文独创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作

5、出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。研究生签名：塑日期：磁剑19＆f学位论文使用授权声明苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布(包括刊登)论文的全部或部分内容。论文的公布(包括刊登)授权苏州大学学位办办理。研究生签名：塞丝日期：乙巫!里!墨竺’I导师签名：玉＆迭

6、．生．日期：．竺壁b垒亟19日l1群论在魔方中的应用一群论概念在魔方中的应用第一章群论概念在魔方中的应用1．1前言魔方最初是在1974年由一位匈牙利的建筑学教授Rubik所发明，其最初的目的不过是为了使学生对立体事物增加一些实感．令Rubik始料未及的是，魔方一经问世后竟然风靡全球，成了20世纪80年代初期最受欢迎的玩具．魔方不仅是一个令千万人着迷的有趣玩具，同时也是一个能够展示许多群论概念及其相关I生质的有力工具．如置换，作用，轨道，传递性，本原性，同态等诸多概念在魔方中的体现，如共轭和换位子在复原魔方的过程中起到的化繁为简的作用．人

7、们在玩魔方的时候，很自然地会提出如下问题：魔方不同色彩组合的种数是多少?这个问题已经得到解决，大致思路是建立所有魔方色彩组合到魔方群的双射，计算出该群的阶，从而确定魔方不同色彩组合的种数．更进一步地，利用群论作为工具，还可以分析出魔方的结构，这点将在后文中详细介绍．除了上述问题，人们在玩魔方的时候，最核心的问题是：如何将一个处于混乱状态的魔方复原?这个问题已经得到解决，而且解法远远不止一种，这都归功于众多魔方爱好者．本文不对如何复原魔方进行探讨，如果有兴趣，可以参考[11．上述问题是比较特殊的一种形式，与之对应的是由此衍生的问题：魔方群

8、．Cayley图的直径是多少?这个问题目前没有得到解决．有人把该直径称为上帝之数(God’Snumber)．相应地，还原魔方的步骤被称为上帝的算法(God’salgorithm)．1982年，Singmas