解析几何中的范围问题

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1、解析几何中的范围问题一般解题思路是,首先寻觅出(或直接利用)相关的不等式,进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。一、“题设条件中的不等式关系”题设条件中明朗或隐蔽的不等关系,可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。例1、(2004全国卷I)椭圆的两个焦点是,且椭圆上存在点P使得直线垂直.求实数m的取值范围;分析:对于(1),要求m的取值范围,首先需要导出相关的不等式,由题设知,椭圆方程为标准方程,应有,便是特设条件中隐蔽的不等关系.解:(1)由题设知  设点P坐标为,则有得①  将①与联立,解得  ∵m>0,且 ∴m≥1  即

2、所求m的取值范围为.  二、“圆锥曲线的有关范围”  椭圆、双曲线和抛物线的“范围”,是它们的第一几何性质。例2、已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且该椭圆以抛物线的焦点P为其一个焦点,以双曲线的焦点Q为顶点。(1)求椭圆的标准方程;(2)已知点,且C,D分别为椭圆的上顶点和右顶点,点M是线段CD上的动点,求的取值范围。解:(1)抛物线焦点P为(4,0),双曲线的焦点Q为(5,0)∴可设椭圆的标准方程为(a>b>0),且a=5,c=46,∴椭圆的标准方程为(2)设,线段CD方程为,即点M是线段CD上,,,,将代入得,的最大值为2

3、4,的最小值为。的范围是。三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”  在直线与曲线相交问题中,直线与某圆锥曲线相交的大前提,往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因此,对于有关一元二次方程的判别式△>0,求某量的值时,它是去伪存真的鉴别依据,求某量的取值范围时,它是导出该量的不等式的原始不等关系。例3、如图,直角梯形ABCD中∠DAB=90°,AD∥BC,AB=2,AD=,BC=.椭圆C以A、B为焦点且经过点D.(1)建立适当坐标系,求椭圆C的方程;(2)若点E满足,问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且,若存在

4、,求出直线l与AB夹角的范围,若不存在,说明理由.解:(1)以AB所在直线为x轴,AB中垂线为y轴建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0)设椭圆方程为:令 ∴∴ 椭圆C的方程是:。(2),,l⊥AB时不符,设l:y=kx+m(显然k≠0)6  由   M、N存在D①  设M(,),N(,),MN的中点F(,)  ∴ ,代入①  ∴   ∴   ∴   ∴ 且∴ l与AB的夹角的范围是,.四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”  所给问题中的某些点,注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点,又如圆锥曲线任意两弦的交点等。因此

5、,点在圆锥曲线内部的充要条件,便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中,常用的充要条件为:  12、3、4、例4、求使抛物线上有不同两点关于直线对称。求实数的取值范围。解:设,是上关于对称的两点,易知,是,的中点。则有,两式相减得又且6,,。因为在抛物线内部所以,即得练习:1、已知椭圆C:+=1(a>b>0)以双曲线-y2=1的焦点为顶点,其离心率与双曲线的离心率互为倒数.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A,B,点M是椭圆C上异于A,B的任意一点.①求证:直线MA,MB的斜率之积为定值;②若直线MA,MB与直

6、线x=4分别交于点P,Q,求线段PQ长度的最小值.解:(1)易知双曲线-y2=1的焦点为(-2,0),(2,0),离心率为,则在椭圆C中a=2,e=,故在椭圆C中c=,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)①设M(x0,y0)(x0≠±2),点M在椭圆C上,则+y=1由题易知A(-2,0),B(2,0),则kMA=,kMB=,故kMA·kMB=·=,由+y=1,有y=1-=-(x-4),故kMA·kMB==-,即直线MA,MB的斜率之积为定值-.②设直线MA的斜率为k,则直线MA方程为y=k(x+2),从而P(4,6k),由①知直

7、线MB的斜率为-,则直线MB方程为y=-(x-2),故得Q(4,-),故

8、PQ

9、=

10、6k+

11、≥2,当且仅当k=±时等号成立,即

12、PQ

13、有最小值2.2、设A、B是椭圆上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.确定的取值范围,并求直线AB的方程;解:解法1:依题意,可设直线AB的方程为,整理得①设是方程①的两个不同的根,∴②且由N(1,3)是线段AB的中点,得6解得k=-1,代入②得,的取值范围是(12,+∞).于是,直线AB的方程为解法2:设则有依题意,∵N(1,3)是AB的中点,∴又由N(1,

14、3)在椭圆内,∴∴的取值范围是(12,+∞).直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0.3、已知椭圆的一个顶点A(0,-1),焦点在x轴上,且右焦点到直线的距离为3,若斜率不为0的直线l与椭圆

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