解析几何中的范围问题

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1、解析几何中的范围问题一般解题思路是，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。一、“题设条件中的不等式关系”题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。例1、（2004全国卷I）椭圆的两个焦点是，且椭圆上存在点P使得直线垂直.求实数m的取值范围；分析：对于（1），要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为标准方程，应有，便是特设条件中隐蔽的不等关系.解：（1）由题设知　　设点P坐标为，则有得①　　将①与联立，解得　　∵m>0，且　∴m≥1　　即

2、所求m的取值范围为.　　二、“圆锥曲线的有关范围”　　椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。例2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线的焦点P为其一个焦点，以双曲线的焦点Q为顶点。(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M是线段CD上的动点，求的取值范围。解：(1)抛物线焦点P为(4，0)，双曲线的焦点Q为(5，0)∴可设椭圆的标准方程为（a>b>0），且a=5，c=46，∴椭圆的标准方程为(2)设，线段CD方程为，即点M是线段CD上，，，，将代入得，的最大值为2

3、4，的最小值为。的范围是。三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”　　在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因此，对于有关一元二次方程的判别式△>0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。例3、如图，直角梯形ABCD中∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝，BC＝．椭圆C以A、B为焦点且经过点D．（1）建立适当坐标系，求椭圆C的方程；（2）若点E满足，问是否存在不平行AB的直线l与椭圆C交于M、N两点且，若存在

4、，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由．解：（1）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）设椭圆方程为：令　∴∴　椭圆C的方程是：。（2），，l⊥AB时不符，设l：y＝kx＋m（显然k≠0）6　　由　　　M、N存在D①　　设M（，），N（，），MN的中点F（，）　　∴　，代入①　　∴　　　∴　　　∴　　　∴　且∴　l与AB的夹角的范围是，．四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”　　所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。因此

5、，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为：　　12、3、4、例4、求使抛物线上有不同两点关于直线对称。求实数的取值范围。解：设，是上关于对称的两点，易知，是，的中点。则有，两式相减得又且6，，。因为在抛物线内部所以，即得练习：1、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)以双曲线－y2＝1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；②若直线MA，MB与直

6、线x＝4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．解：(1)易知双曲线－y2＝1的焦点为(－2,0)，(2,0)，离心率为，则在椭圆C中a＝2，e＝，故在椭圆C中c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)①设M(x0，y0)(x0≠±2)，点M在椭圆C上，则＋y＝1由题易知A(－2,0)，B(2,0)，则kMA＝，kMB＝，故kMA·kMB＝·＝，由＋y＝1，有y＝1－＝－(x－4)，故kMA·kMB＝＝－，即直线MA，MB的斜率之积为定值－．②设直线MA的斜率为k，则直线MA方程为y＝k(x＋2)，从而P(4,6k)，由①知直

7、线MB的斜率为－，则直线MB方程为y＝－(x－2)，故得Q(4，－)，故

8、PQ

9、＝

10、6k＋

11、≥2，当且仅当k＝±时等号成立，即

12、PQ

13、有最小值2.2、设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.确定的取值范围，并求直线AB的方程；解：解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得①设是方程①的两个不同的根，∴②且由N（1，3）是线段AB的中点，得6解得k=－1，代入②得，的取值范围是（12，+∞）.于是，直线AB的方程为解法2：设则有依题意，∵N（1，3）是AB的中点，∴又由N（1，

14、3）在椭圆内，∴∴的取值范围是（12，+∞）.直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.3、已知椭圆的一个顶点A(0,－1)，焦点在x轴上，且右焦点到直线的距离为3，若斜率不为0的直线l与椭圆