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时间:2020-01-12
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1、..解析几何中的范围问题在直线与圆锥曲线相交问题中,关于直线的斜率或纵截距的取值范围,关于圆锥曲线的离心率、长轴长(或实轴长)、短轴长(或虚轴长)等有关参量的取值范围,是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此,一般情况下的解题思路,首先寻觅出(或直接利用)相关的不等式,进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里,我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。 一、“题设条件中的不等式关系”之运用 事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系,既可作为推导或求解的条件而增加难度,也
2、可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时,不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式,往往成为解题的关键环节. 例1、已知双曲线中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线右支上 ,点M(m,0)到直线AP的距离为1. (1)若直线AP的斜率为k,且,求实数m的取值范围; (2)当时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线方程. 分析:对于(1),已知直线AP的斜率k的取值范围,要求m的取值范围,首先需要导出k与m的关系式;对于(2),则要利用三角形内心的性质,三角形内心到三边距离相等;
3、三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线;三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质,还要视题设条件的具体情况来定夺. 解: (1)由已知设直线AP的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0 ∵点M到直线AP的距离为1 ∴ ① ∵∴, 解得或 ∴所求m的取值范围为. (2)根据已知条件设双曲线方程为 当时,点M的坐标为(). ∵A(1,0),, ∵点M到直线AP的距离为1,∴△APQ的内切圆半径r=1, ∴∠PAM=45°,word教育资料.. (不妨设点P在第一象限
4、)∴直线PQ的方程为,直线AP的方程为y=x-1 因此解得点P的坐标为() 将点P坐标代入双曲线方程得 ∴所求双曲线方程为 即. 点评:这里的(1),是题设条件中明显的不等关系的运用; 这里的(2),审时度势的求解出点P坐标,恰如“四两拨千斤”.同学们请注意:一不要对三角形内心敬而生畏,二不可总想利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题,便会逐渐拨开云雾,寻出解题方向. 例2、设椭圆的两个焦点是,且椭圆上存在点P使得直线垂直. (1)求实数m的取值范围; (2)设L是相应于焦点的准线,直线与L相交于点Q,若
5、,求直线的方程. 分析:对于(1),要求m的取值范围,首先需要导出相关的不等式,由题设知,椭圆方程为第一标准方程,因而这里应有,便是特设条件中隐蔽的不等关系. 对于(2),欲求直线的方程,注意到这里题设条件与点P的密切关系,故考虑从求点P坐标突破. 解:(1)由题设知 设点P坐标为,则有 化简得 ① 将①与联立,解得∵m>0,且∴m≥1 即所求m的取值范围为. (2)右准线L的方程为 设点word教育资料.. ∴ ② (ⅰ)将代入②得 ③ 又由题设知∴由③
6、得,无解. (ⅱ)将代入②得 ④ ∴由题设得 由此解得m=2 从而有 于是得到直线的方程为 点评:对于(1),解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式对于(2),以求解点P坐标为方向,对已知条件进行“数形转化”,乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略. 二、“圆锥曲线的有关范围”之运用 我们在学习中已经看到,椭圆、双曲线和抛物线的“范围”,是它们的第一几何性质。事实上,我们研究“范围”,一在于认知:认知圆锥曲线特性;二在于应用:“应用”它们来解决有关问题。 例、以为焦点的椭
7、圆与x轴交于A,B两点 (1)过作垂直于长轴的弦MN,求∠AMB的取值范围; (2)椭圆上是否存在点P,使∠APB=120°?若存在,求出椭圆离心率e的取值范围. 解: (1)基于椭圆的对称性,不妨设定为右焦点,M在第一象限,则易得,word教育资料.. 设A(-a,0),B(a,0),则∠AMB为直线AM到BM的角, 又∴利用公式得 ① 此时注意到椭圆离心率的范围:08、0° 基于椭圆的对称性,不妨设点P(x,y)在第一象限 则有x>0,y>0 ∴根据公式得 整理得 ① 又这里 ② ∴②代入①得 ③ 此时注意到点P在椭圆上,故得 ④ ∴由③④得 ⑤ 由⑤得
8、0° 基于椭圆的对称性,不妨设点P(x,y)在第一象限 则有x>0,y>0 ∴根据公式得 整理得 ① 又这里 ② ∴②代入①得 ③ 此时注意到点P在椭圆上,故得 ④ ∴由③④得 ⑤ 由⑤得
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