高考解析几何中的范围问题

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1、..解析几何中的范围问题在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此，一般情况下的解题思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。　　一、“题设条件中的不等式关系”之运用　　事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也

2、可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.　　例1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线右支上　　，点M（m，0）到直线AP的距离为1.　　（1）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；　　（2）当时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程.　　分析：对于（1），已知直线AP的斜率k的取值范围，要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式；对于（2），则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；

3、三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺.　　解：　　（1）由已知设直线AP的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0　　∵点M到直线AP的距离为1　　∴　　　　　　　　①　　∵∴，　解得或　　∴所求m的取值范围为.　　（2）根据已知条件设双曲线方程为　　当时，点M的坐标为（）.　　∵A(1,0)，，　∵点M到直线AP的距离为1，∴△APQ的内切圆半径r＝1，　∴∠PAM＝45°，word教育资料..　　（不妨设点P在第一象限

4、）∴直线PQ的方程为，直线AP的方程为y＝x－1　　因此解得点P的坐标为（）　　将点P坐标代入双曲线方程得　　∴所求双曲线方程为　即.　　点评：这里的（1），是题设条件中明显的不等关系的运用；　　这里的（2），审时度势的求解出点P坐标，恰如“四两拨千斤”.同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不可总想利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题，便会逐渐拨开云雾，寻出解题方向.　　例2、设椭圆的两个焦点是，且椭圆上存在点P使得直线垂直.　　（1）求实数m的取值范围；　　（2）设L是相应于焦点的准线，直线与L相交于点Q，若

5、，求直线的方程.　　分析：对于（1），要求m的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为第一标准方程，因而这里应有，便是特设条件中隐蔽的不等关系.　　对于（2），欲求直线的方程，注意到这里题设条件与点P的密切关系，故考虑从求点P坐标突破.　　解：（1）由题设知　　设点P坐标为，则有　化简得　　　　　　　　①　　将①与联立，解得∵m>0，且∴m≥1　　即所求m的取值范围为.　　（2）右准线L的方程为　设点word教育资料..　　∴　　　　　　　　　　②　　（ⅰ）将代入②得　　　　　　　　③　　又由题设知∴由③

6、得，无解.　　（ⅱ）将代入②得　　　　　　　　　④　　∴由题设得　由此解得m＝2　从而有　　于是得到直线的方程为　　点评：对于（1），解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式对于（2），以求解点P坐标为方向，对已知条件进行“数形转化”，乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略.　　二、“圆锥曲线的有关范围”之运用　　我们在学习中已经看到，椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。事实上，我们研究“范围”，一在于认知：认知圆锥曲线特性；二在于应用：“应用”它们来解决有关问题。　　例、以为焦点的椭

7、圆与x轴交于A，B两点　　（1）过作垂直于长轴的弦MN，求∠AMB的取值范围；　　（2）椭圆上是否存在点P，使∠APB＝120°？若存在，求出椭圆离心率e的取值范围.　　解：　　（1）基于椭圆的对称性，不妨设定为右焦点，M在第一象限，则易得，word教育资料..　　设A(－a,0)，B(a,0)，则∠AMB为直线AM到BM的角，　又∴利用公式得　　　　　　　　①　此时注意到椭圆离心率的范围：0

8、0°　　基于椭圆的对称性，不妨设点P（x，y）在第一象限　　则有x>0，y>0　　∴根据公式得　　整理得　　　　　　　　　①　　又这里　　　　　　　　　　　　　　②　　∴②代入①得　　　　　　　　　　　③　　此时注意到点P在椭圆上，故得　　　　　　④　　∴由③④得　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤　　由⑤得