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《傅立叶变换(fft)离散余弦变换(dct)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3章图像变换傅立叶变换(FFT)离散余弦变换(DCT)K-L变换小波变换问题的提出为达到某种目的将原始图象变换映射到另一个空间上，使得图象的某些特征得以突出，以便于后面的处理和识别。一般变换后的图象，大部分能量都分布于低频谱段，这对以后图象的压缩、传输都比较有利。使得运算次数减少，节省时间φ傅立叶变换FFT线性系统对于一般线性系统，往往是用时间作为参数来描述的，表示为一维(t)系统。在图像处理中是用空间作为参数来描述的，通常表示为二维(x,y)系统。输入函数f(x,y)表示原始图像，输出函数g(x,
2、y)表示经处理后的图像，线性系统可看作是一种映射φ，它反映了各种线性的图像处理方法，其输入和输出的关系表示为：二维线性系统叠加原理点源和狄拉克δ函数一幅图像可以看成由无穷多极小的象素组成，每一个象素都可以看作为一个点源，因此，一幅图像也可以看成由无穷多点源所组成数学上，点源可以用狄拉克δ函数来表示，二维δ函数定义为满足狄拉克δ函数性质(1)δ函数为偶函数，即(2)位移性或用卷积符号*表示为(3)可分性(4)乘积性(5)筛选性当且仅当α＝β＝0时(6)指数函数卷积假设f(x)(x=0,1…,A-1)以及
3、g(x)(x=0,1,…,C-1)是两个有限离散函数，其线性卷积为原点对折平移x对于图像二维函数的卷积，则相关2个函数的相关定义为其中f*(i)为f(i)的复共轭一维连续傅立叶变换定义及基本概念设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件：（1）具有有限个间断点（2）具有有限个极值点（3）绝对可积则有下列式成立：x为时域变量，u为频域变量(1)(2)如果令w＝2πu，则有称为傅立叶变换对函数f(x)的傅立叶变换一般是一个复量，它可以用下式表示：指数形式：
4、F(w)
5、称为傅立叶谱，φ(w)称
6、为相位谱，E(w)为能量谱或功率普实例傅立叶变换其相位为Af(x)xτ/2-τ/2π-πuφ(u)傅立叶谱周期函数的傅立叶变换f(x)x傅立叶级数来表示傅立叶变换冲激序列w003w0w-3w0-w0F(u)结论1、只要满足一定条件，连续函数就可以进行傅立叶变换，实际上这个条件在工程应用中很容易满足。2、连续非周期函数的傅立叶谱是连续的非周期函数，连续的周期函数的傅立叶谱是离散的非周期函数。二维连续傅立叶变换如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则将有下面的傅立叶变换对存在：与一维傅立叶变换类似，二
7、维傅立叶变换的傅立叶谱和相位谱为：例：求如图所示的函数的傅立叶谱xyf(x,y)Af(x,y)函数其傅立叶变换为：其傅立叶谱为：离散傅立叶变换由于实际问题的时间或空间函数的区间是有限的，或者是频谱有截止频率离散傅立叶变换(DiscreteFourierTransform－简称DFT)在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛，它建立了离散时域和离散频域之间的联系一维离散傅立叶变换非周期性的连续信号周期性的连续信号非周期性的离散谱取样作离散化处理周期性的连续谱离散化并延拓为周期性信号离散的周期性谱连续的
8、非周期性的波形二维离散傅立叶变换由于图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到
9、空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。一个M×N大小的二维函数f(x,y)，其离散傅立叶变换对为在数字图像处理中，图像一般取样为方形矩阵，即N×N，则其傅立叶变换及其逆变换为（1）可分性从上式可以看出，一个二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶变换来实现傅立叶变换的性质其意义：一个二维傅立叶变换或反变换都可以分解为二步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换或反变换f(x,y)(0,0)N-1N-1xyF(x
10、,v)(0,0)N-1N-1xvF(u,v)(0,0)N-1N-1vu行变换列变换二维傅立叶变换分离成两个一维变换行变换列变换（2）平移性在空域中，图像原点平移到(x0，y0)时，其对应的频谱F(u,v)要乘上一个负的指数项在频域中，原点平移到(u0，v0)时，其对应的f(x,y)要乘上一个正的指数项也就是说，当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发生相移，而傅立叶变换的幅值不变反之，当频域中F(u,v)产生移动时，相应的f(x,y)在空域中也只发生
