对二次函数在给定区间上最值问题的探讨

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1、对二次函数在给定区间上最值问题的探讨【摘要】函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础，尤其是二次函数，更是重中之重，本文将对二次函数在给定区间上求最值的问题进行探讨，并在此基础上提出了简易的解决这一类问题的有效方法.【关键词】二次函数；区间；最值1引言函数是整个高中数学的灵魂，又是学习高等数学的基础，在高考数学试题中占有重要的地位.而函数最值是它非常重要的性质，既是教学重点，又是难点，在解题中有着广泛的运用，尤其是二次函数的最值问题.但是学生对最值问题理解得不透彻，运用也

2、不灵活，为此，我对二次函数在给定区间上的最值问题进行了一些必要的探索，针对不同类型的题目给出了简单有效地解题方法，避免了通常求最值的单调性方法，从而可有效的提高解题速度.2相关定义定义1（二次函数）一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.定义2（二次函数在给定区间上的最值）设二次函数f(x)的定义域为i，区间di，如果存在实数m（m）同时满足如下两个条件：（1）对于任意的x∈d，都

3、有f(x)≤m（f(x)≥m）；（2）存在x0∈d，使得f(x0)=m（f(x0)=m），那么，我们称m（m）为函数f(x)在给定区间d上的最大值（最小值）.3二次函数在给定区间上的最值问题二次函数的最值是二次函数非常重要的性质，既是教学重点，又是难点.本文将对二次函数在给定区间d上的最值问题进行分析探讨，针对不同的类型的题目采用不同的方法进行求解，达到能用最节省的时间做出正确答案的目的（为方便起见，以下二次函数f(x)的定义域均为i，区间di）.二次函数在给定区间d上的最值问题，如果按照区间d来划

4、分，一般有如下四种情况：（1）求二次函数f(x)在区间d=［a,b］上的最值；（2）求二次函数f(x)在区间d=(a,b)（a可取-∞，b可取+∞）上的最值；（3）求二次函数f(x)在区间d=［a,b)（b可取+∞）上的最值；（4）求二次函数f(x)在区间d=(a,b］（a可取-∞）上的最值.假设二次函数的二次项系数a>0（当a0类似），对于以上四种情况，下面分别给出求解的简便有效方法.对于第一种情况，我们采用如下方法：（1）计算二次函数f(x)所对应图像的对称轴方程：x=-b2a；（2）分别计算f-b

5、2a,f(a)和f(b)的值；（3）比较上述（2）中三个函数值的大小关系，三个中最大值和最小值分别为该函数在该区间上的最大值和最小值，可分别记作：maxf-b2a,f(a),f(b)和minf-b2a,f(a),f(b).对于第二种情况，我们采用如下方法：（1）计算二次函数f(x)所对应图像的对称轴方程：x=-b2a；（2）若-b2a∈d，则函数f(x)在区间d上的最小值是f-b2a，无最大值；若-b2ad，则函数f(x)在区间d上既无最小值也无最大值.对于第三种情况，我们采用如下方法：（1）计算二次

6、函数f(x)所对应图像的对称轴方程：x=-b2a；（2）若-b2a∈d,计算da=a--b2a和db=b--b2a（当b=+∞时，记da　　对于第四种情况，我们采用如下方法：（1）计算二次函数f(x)所对应图像的对称轴方程：x=-b2a；（2）若-b2a∈d，计算da=a--b2a和db=b--b2a（当a=-∞时，记da>db），则函数f(x)在区间d上的最小值为f-b2a，最大值为：f(b),当db≥da；无最大值,当dbb时,无最大值，最小值为f(b);当-b2a≤a时,无最小值,最大值为f(b)

7、.4二次函数最值问题的应用举例例1已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈［-5,5］，当a=-1时，求函数f(x)的最大值和最小值.（2009年——-山东模拟）分析此题等价于求f(x)=x2-2x+2在区间d=［-5,5］上的最大值和最小值，属于本文3中的第一种情况.解∵f(x)=x2+2ax+2,且a=-1,∴f(x)=x2-2x+2，∴f(x)所对应函数图像的对称轴为x=1，∴f(-5)=37,f(5)=17,f(1)=1，∴f(x)在区间［-5,5］上的最大值为max{f(-5),f(5),f

8、(1)}=37，最小值为min{f(-5),f(5),f(1)}=1.例2求函数f(x)=2x2-x-1在区间d=(-1,1)上的最值.分析本题属于本文3中的第二种情况.解∵f(x)=2x2-x-1,∴函数f(x）所对应图像的对称轴方程为x=-b2a=--122=14，∴14∈d.∴f(x)在区间d=(-1,1)上的最小值为f14=-98,无最大值.例3求函数f(x)=x2-x-2在区间d=［-2，1）上的最值.分析本题属于本文3中的第三种