2018版高中数学苏教版必修五学案：2．2.2　等差数列的通项公式

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1、2017-2018学年苏教版高中数学必修五学案2.2.2　等差数列的通项公式学习目标　1.掌握等差数列通项公式的推导及应用.2.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.3.能运用等差数列的性质解决有关问题．知识点一　等差数列的通项公式思考　等差数列{an}中，首项为a1，公差为d，如何用a1，d表示an?　　　梳理　一般地，an＝a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式．知识点二　等差数列通项公式的几何意义思考　已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项公式an＝a1＋(n－1)d

2、，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项公式an?　　　梳理　等差数列通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(m，am)，(n，an)都是这条直线上的点．d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d＝.当两点为(n，an)，(m，am)时，有d＝.知识点三　等差数列的性质思考　还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？　　82017-2018学年苏教版高中数学必修五学案梳理　在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于

3、首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….注意到上式中的序号1＋n＝2＋(n－1)＝…，有：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝________.特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝________.类型一　求等差数列的通项公式例1　甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t(s)123…？…60距离s(cm)9.819.629.4…49…？(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系

4、吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1min能爬多远？它爬行49cm需要多长时间？　　　　　　反思与感悟　由于an＝am＋(n－m)d，要求通项公式，只需求出该数列的任意一项和公差．跟踪训练1　已知等差数列{an}：3,7,11,15，….(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？试说明理由；(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．　　82017-2018学年苏教版高中数学必修五学案　类型二　等差数列通项公式及推广形式

5、的应用命题角度1　列方程(组)求基本量例2　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．　　　　　　反思与感悟　把已知条件转化为关于a1，d的方程组求解，是一种常用思想，称为方程思想．灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量．跟踪训练2　等差数列{an}为递减数列，且a2＋a4＝16，a1a5＝28，求数列{an}的通项公式．　　　　　命题角度2　等差数列的通项公式与一次函数关系例3　已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

6、若是，首项和公差分别是多少？　　82017-2018学年苏教版高中数学必修五学案　反思与感悟　从通项公式代数特点上看，an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．其中公差为k.借助这一性质可以迅速判断某数列是否为等差数列，但不宜用来证明．证明要用定义：an＋1－an＝d，n∈N*.跟踪训练3　若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有________个．①{

7、an

8、}；②{an＋1－an}；③{pan＋q}(p，q为常数)；④{2an＋n}．类型三　等差数列性质的应用例4　已知

9、等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．引申探究1．在本例中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as?2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.　　　　　　　反思与感悟　解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差求解，属于

10、通项方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．跟踪训练4　在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．　82017-2018学年苏教版高中数学必修五学案　　1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d＝________.2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15＝________.3．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝___