2018版高中数学人教b版选修2-1学案：2.3.2 双曲线的几何性质

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1、2018年人教B版高中数学选修2-1学案2.3.2　双曲线的几何性质学习目标　1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．知识点一　双曲线的范围、对称性思考　观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？梳理　(1)双曲线

2、－＝1(a>0，b>0)中要求x∈________________，y∈________.双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈________，y∈________________.(2)双曲线的对称轴为__________________，对称中心为________．知识点二　双曲线的顶点思考　(1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？梳理　双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为________，_______

3、_；双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为________，________.知识点三　渐近线与离心率思考1　能否和椭圆一样，用a，b表示双曲线的离心率？思考2　离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？142018年人教B版高中数学选修2-1学案梳理　(1)渐近线：直线__________叫做双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线．(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比______，叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1)．(3)双曲线的几何性质见下表：标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1

4、(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)类型一　已知双曲线的标准方程求其简单几何性质例1　求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．引申探究将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标

5、、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答．　反思与感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、142018年人教B版高中数学选修2-1学案渐近线方程．类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程例2　求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且

6、过点(－2，)；(2)过点(3，9)，离心率e＝.反思与感悟　(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ

7、x的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2　(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．类型三　共轭双曲线与等轴双曲线命题角度1　共轭双曲线例3　已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3)．若双曲线M以双142018年人教B版高中数学

8、选修2-1学案曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程．反思与感悟　双曲线－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，两者：(1)有共同的渐近线．(2)四个焦点共圆．(3)它们的离心率不同，设它们的离心率分别为e1，e2，则＋＝1.(4)焦点所在坐标轴不同，一个在x轴上，另一个在y轴上．跟踪训练3　与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的共轭双曲线的方程为________．命题角度2