2018版高中数学人教版a版必修五学案：§1习题课　正弦定理和余弦定理

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1、2017-2018学年人教A版高中数学必修5学案[学习目标]　1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．知识点一　正弦定理及其变形1.＝＝＝2R．2．a＝2Rsin__A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C．(化角为边)3．sinA＝，sinB＝，sinC＝．(化边为角)知识点二　余弦定理及其推论1．a2＝b2＋c2－2bccos__A，cosA＝．(边角互化)2．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角，c2>a2＋b2

2、⇔C为钝角；c2

3、学案知识点四　三角形内的角的函数关系在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，则有(1)sin(A＋B)＝sin__C，cos(A＋B)＝－cos__C，tan(A＋B)＝－tan__C，(2)sin＝cos，cos＝sin．题型一　利用正弦、余弦定理解三角形或求值例1　在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝.(1)求AB的长；(2)cos的值．解　(1)由cosB＝，则sinB＝＝，又∵C＝，AC＝6，由正弦定理，得＝，即＝⇒AB＝5.(2)由(1)得：sinB＝，cosB＝，sinC＝cosC＝，则sinA＝sin(B＋C)＝sin

4、BcosC＋cosBsinC＝，cosA＝－cos(B＋C)＝－(cosBcosC－sinBsinC)＝－，则cos＝cosAcos＋sinAsin＝.反思与感悟　应用正弦、余弦定理解三角形时，要注意结合题目中的条件，选择适当的定理．在进行求值运算时，要合理运用三角恒等变换的公式进行转化．跟踪训练1　如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．答案　82017-2018学年人教A版高中数学必修5学案解析　∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△

5、ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝18＋9－2·3·3·＝3.∴BD＝.题型二　判断三角形的形状例2　在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状．解　由余弦定理知cosB＝，代入c＝acosB，得c＝a·，所以c2＋b2＝a2，所以△ABC是以A为直角的直角三角形．又因为b＝asinC，所以b＝a·，所以b＝c，所以△ABC也是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形．反思与感悟　(1)判断三角形形状时，要灵活应用正弦、余弦定理进行边角转化．但究竟是化边为角还是化角为边，应视具体情况而定

6、．(2)常用的几种转化形式：①若cosA＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形；②若cosA<0，则△ABC为钝角三角形；③若cosA>0且cosB>0且cosC>0，则△ABC为锐角三角形；④若sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝90°，△ABC为直角三角形；⑤若sinA＝sinB或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；⑥若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形．跟踪训练2　在△ABC中，cosA＝，且(a－2)∶b∶(c＋2)＝1∶2∶3，试判断三角形的形状．解　由已知设a－2

7、＝x，则b＝2x，c＋2＝3x，所以a＝2＋x，c＝3x－2，由余弦定理得cosA＝＝.解得x＝4，所以a＝6，b＝8，c＝10，82017-2018学年人教A版高中数学必修5学案所以a2＋b2＝c2，所以三角形为直角三角形．题型三　有关创新型问题例3　已知x>0，y>0，且x2－xy＋y2＝1，求x2－y2的最大值与最小值．解　构造△ABC，使AB＝1，BC＝x，AC＝y，C＝60°，由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，∴1＝x2＋y2－xy，即x，y满足已知条件，由正弦定理得＝＝＝.∴x＝sinA，y＝sinB，x2－y2

8、＝(sin2A－sin2B)＝(1－cos2A－1＋cos2B)＝(cos2B－cos2A)＝[cos(240°－2A)－