第16讲 二次函数(生)

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1、中考总复习第一轮6/26/2021第16讲  二次函数一、【知识要点】1.定义:一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质(1)抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点,对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.3.二次函数的图像是对称轴垂直x轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成:的形式,其中.5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①;②;③;④;⑤.6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向:当时

2、,开口向上;当时,开口向下;相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:,∴顶点是,对称轴是直线.17中考总复习第一轮6/26/2021(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点

3、是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.9.抛物线中,的作用(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故:①时,对称轴为轴;②(即、同号)时,对称轴在轴左侧;③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称

4、轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0,)(,0)(,)()11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.17中考总复习第一轮6/26/2021(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:.12.直线与抛物线的交点(1)轴与抛物线得交点为(0,).(2)与轴垂直的直线与抛物线有且只有一个交点(,).(3)抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一

5、元二次方程的根的判别式判定:①有两个交点抛物线与轴相交;②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;③没有交点抛物线与轴相离.(4)平行于轴的直线与抛物线的交点:同⑶一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点;③方程组无解时与没有交点.(6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为,由于、是方程的两个根,故二、【典型例题】(一)考查二次函数的定义、性

6、质1.已知点A、B、C在函数上,则、、的大小关系是().A.B.C.D.17中考总复习第一轮6/26/20211.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,则点M(b,)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个3.(2009年广西南宁)已知二次函数()的图象如图所示,有下列四个结论:④,其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.

7、4个4.(2009年鄂州)已知=次函数y=ax+bx+c的图象如图.则下列5个代数式:ac,a+b+c,4a-2b+c,2a+b,2a-b中,其值大于0的个数为()A.2B.3C.4D.55.(2009年黄石市)已知二次函数的图象如图所示,有以下结论:①;②;③;④;⑤其中所有正确结论的序号是()A.①②B.①③④C.①②③⑤D.①②③④⑤(二)综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像6.(2009湖北省荆门市)函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是()7.(2009年烟台市)二次函数的图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系

8、内的图象大

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