2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第三章 章末小结 知识整合与阶段检测

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5同步教学案知识整合与阶段检测[对应学生用书P46][对应学生用书P46]归纳——猜想——证明不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题．[例1]　设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，…(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的一个通项公式．(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有①an≥n＋2；②＋＋…＋≤.[解]　(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3；由a2＝3，得a

2、3＝a－2a2＋1＝4；由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)．(2)①用数学归纳法证明：当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立；假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1222017-2018学年高中数学人教B版选修4-5同步教学案≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1≥k＋3＝(k＋1)＋2，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.综上可得，对于所有n≥1，有an≥n＋2.②由an＋1＝an(an－n)＋1及①，对k≥2，有ak＝ak－1(ak

3、－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1≥2·(2ak－2＋1)＋1＝22ak－2＋2＋1≥23ak－3＋22＋2＋1≥…∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1＝2k－1a1＋2k－1－1＝2k－1(a1＋1)－1，于是1＋ak≥2k－1(a1＋1)，≤·，k≥2.∴＋＋…＋≤＋＝＝·<≤＝.因此，原不等式成立.利用数学归纳法证明不等式的常用技巧在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)成立”是问题的

4、条件，而“命题P(k＋1)成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．1．分析综合法用数学归纳法证明关于正整数n的不等式，从“P(k)”到“P(k＋1)”，常常可用分析综合法．[例2]　求证：＋＋…＋<，n∈N＋.[证明]　(1)当n＝1时，因为＝<1，所以原不等式成立．222017-2018学年高中数学人教B版选修4-5同步教学案(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，原不等式成立，即有＋＋…＋<，当n＝k＋1时，＋＋…＋＋<＋.因此，欲证明当n＝k＋1时，原不等式成立，只需证明＋<成立．即证明－>.从而转化为

5、证明>，也就是证明>＋，即()2－(＋)2＝k2＋k＋1－2＝[－1]2>0，从而>＋.于是当n＝k＋1时，原不等式也成立．由(1)、(2)可知，对于任意的正整数n，原不等式都成立．2．放缩法涉及关于正整数n的不等式，从“k”过渡到“k＋1”，有时也考虑用放缩法．[例3]　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立．[证明]　(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝.∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，即·…·>.则当n＝k＋1时，222017-2018学年高中数学人教B版选修4-5同步教学案·…·>·＝＝>＝＝

6、.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．3．递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用an与an＋1的关系，实现从“k”到“k＋1”的过渡．[例4]　设01，又a1＝1＋a<，显然命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即1(1－a)＋a＝1，同时，ak＋1＝＋a<1＋a＝<，当n＝k＋1时，命题也成立．即1

7、k＋1<.综合(1)、(2)可知，对一切正整数n，有12＝.所以xn>(n∈N＋)显然成立．下面证明：xn<＋(n