2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第三章 章末小结 知识整合与阶段检测

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1、2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5同步教学案知识整合与阶段检测[对应学生用书P46][对应学生用书P46]归纳——猜想——证明不完全归纳的作用在于发现规律,探求结论,但结论是否为真有待证明,因而数学中我们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题.[例1] 设数列{an}满足an+1=a-nan+1,n=1,2,3,…(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出数列{an}的一个通项公式.(2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有①an≥n+2;②++…+≤.[解] (1)由a1=2,得a2=a-a1+1=3;由a2=3,得a

2、3=a-2a2+1=4;由a3=4,得a4=a-3a3+1=5.由此猜想:an=n+1(n∈N+).(2)①用数学归纳法证明:当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立;假设当n=k时,不等式成立,即ak≥k+2,那么当n=k+1时,ak+1=a-kak+1=ak(ak-k)+1222017-2018学年高中数学人教B版选修4-5同步教学案≥(k+2)(k+2-k)+1=2(k+2)+1≥k+3=(k+1)+2,也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2.综上可得,对于所有n≥1,有an≥n+2.②由an+1=an(an-n)+1及①,对k≥2,有ak=ak-1(ak

3、-1-k+1)+1≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1≥2·(2ak-2+1)+1=22ak-2+2+1≥23ak-3+22+2+1≥…∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1a1+2k-1-1=2k-1(a1+1)-1,于是1+ak≥2k-1(a1+1),≤·,k≥2.∴++…+≤+==·<≤=.因此,原不等式成立.利用数学归纳法证明不等式的常用技巧在使用数学归纳法证明时,一般说来,第一步验证比较简明,而第二步归纳步骤情况较复杂.因此,熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的,其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题,归纳假设“P(k)成立”是问题的

4、条件,而“命题P(k+1)成立”就是所要证明的结论,因此,合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键,下面简要分析一些常用技巧.1.分析综合法用数学归纳法证明关于正整数n的不等式,从“P(k)”到“P(k+1)”,常常可用分析综合法.[例2] 求证:++…+<,n∈N+.[证明] (1)当n=1时,因为=<1,所以原不等式成立.222017-2018学年高中数学人教B版选修4-5同步教学案(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,原不等式成立,即有++…+<,当n=k+1时,++…++<+.因此,欲证明当n=k+1时,原不等式成立,只需证明+<成立.即证明->.从而转化为

5、证明>,也就是证明>+,即()2-(+)2=k2+k+1-2=[-1]2>0,从而>+.于是当n=k+1时,原不等式也成立.由(1)、(2)可知,对于任意的正整数n,原不等式都成立.2.放缩法涉及关于正整数n的不等式,从“k”过渡到“k+1”,有时也考虑用放缩法.[例3] 用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式·…·>均成立.[证明] (1)当n=2时,左边=1+=,右边=.∵左边>右边,∴不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时不等式成立,即·…·>.则当n=k+1时,222017-2018学年高中数学人教B版选修4-5同步教学案·…·>·==>==

6、.∴当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.3.递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时,有时要利用an与an+1的关系,实现从“k”到“k+1”的过渡.[例4] 设01,又a1=1+a<,显然命题成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即1(1-a)+a=1,同时,ak+1=+a<1+a=<,当n=k+1时,命题也成立.即1

7、k+1<.综合(1)、(2)可知,对一切正整数n,有12=.所以xn>(n∈N+)显然成立.下面证明:xn<+(n

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