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《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第二章章末小结知识整合与阶段检测》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、图示知识"［对应学生用书P36］例析命题&对应学生用书P36］利用柯西不等式证明不等式⑴柯西不等式取等号的条件实质上是：律我=•・・=瓷.这里某一个5为零时，规定相应的偽为零.(2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组.(3)可以利用向量中的a\p^a-p的几何意义来帮助理解柯西不等式的几何意义.［例1］若〃是不小于2的正整数，求证：2<1_丄+丄_丄+・・・+丄—丄<返712十34十十2”一12”.2■［证明］1-扑卜斤•••+*?-守所以求证式等价于由柯西不等式，有治+未+・••+韵［(门+1)+(门+2)+...+2诈于疋n+1+77+2++2"'(”+l)+(n+2
2、)+…+2〃2/72___4ER可刁［例2］(12+12+-+12+"—r+•+—■~■十5+2)2十〒(2力［2V2•n1设a,b,cWR+,且满足abc=y试证明:諾刁+而匕+諾而昜uabc=,则所求证的不等式变为卜屁2局2=3ab+acba+bcac+bc^29［证明］b2c2又(ah+hc+ca^=beacI••ylac+hc+/：••ylab+ac+/""；-ylba+bcYy/ac+bcyjab+acyjba+bc丿cTb~,bc~,cTc~、科計;时;3+bc)+(ab+ac)+(b°+bc)］,・••秩討计抚+盘说易仏+bc+ab&当且仅当a=b=c=时等号成立.原不
3、等式得证.利用柯西不等式求最值又由柯西不等式，有计廿丰+・・•+舟V利用不等式解决最值，尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法.特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幕平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足.［例3］若5q+6x2—7x3+4x4=1,则3xf+2x?+5x；+兀:的最小值是（）A些B旦入15»782C.3D.25T［解析］丁(手+18+罟+16)(3xf+2£+5x］+x：)—7+3V2xV2x2+-tt=(5xj+6x2~7X3+4X4)2=1,15782*［答案］B［例4］等腰直角三角形/O3的直角边长为1.如图，在此三角形中任取点P,过
4、P分别引三边的平行线，与各边I詞成以P为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时卩的位置.［解］分别取04,03所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系.ByYnJPpk 如Ax则AB的方程为x+y=1,记P点坐标为Pg,yp）,则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S为S=*£>+5$+2S=xp+yp+(]—xp—ypY，由柯西不等式，得时+族+(1—xP—yp)2](12+12+12)M[xP+yP+(1—Xp—yP)]2,即2SX3=6S$1,所以SM*.当且仅当节=半=1-厂3时，等号成立，即"=〃=+时，面积和S最小，且最小值为
5、从而P点坐标为（*,时，这三个三角形的面积和取最小值*.［例5］己知实数X、八z满足x2+4y2+9z2=t7（t/>0）,且x+p+z的最大值是7,求a的值.［解］由柯西不等式：［x2+（2y）2+（3z）2］［12+（齐+（井卜2y+*X3z）.因为x2+4y2+9z2=a（a>0）,所以即一耳2因为x+y+z的最大值是7,所以¥=7,得°=36,3694当x=~f卩=刁z=7时，尹+z取最大值，所以q=36.排序不等式的应用（1）用排序不等式证明不等式的关键是根据问题的条件和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在.（2）注意等号成立的条件.［例6］在,眈中，试证：賽今绘严弓・［
6、证明］不妨设ciWbWc,于是AWBWC.由排序不等式，得ciA+bB+cC=aA+bB+cC,aA+hB+cC2必+cB+aC,相加，得3(ayl+b3+cC)$(Q+b+c)(/l+B+C)=7C(a+b+c)・必+bB+cCa+b+c又由OVb+c—Q,OVa+b—c,OVa+c—b,有^7、求函数最值时，一定要满足下列三个条件：（1）各项均为正数.（2）“和”或“积”为定值.（3）等号一定能取到，这三个条件缺一不可.1.解决实际问题rti于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形.对于一些分式结构的两数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常釆用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解.［例刀已知0
