2017-2018学年高中数学人教a版选修4-5教学案：第三讲 三 排序不等式

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案三排序不等式　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P351．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排

2、序不等式)　设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[说明]　排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P35[例1]　已知a

3、，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：＋＋≥＋＋.[思路点拨]　分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．[证明]　∵a≥b>0，于是≤，又c>0，从而≥，62017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案同理≥，从而≥≥.又由于顺序和不小于乱序和，故可得＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋.所以原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<，求证：sinαcos

4、β＋sinβcosγ＋sinγ·cosα>(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sinx在为增函数，y＝cosx在为减函数，∴0cosβ>cosγ>0.∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤……≤xn.由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n≥1

5、·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1即1＋x2＋x4＋…＋x2nn≥(n＋1)xn.①又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列由排序原理得：1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn②62017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)[例2]　在△ABC中，试证：≤[

6、思路点拨]　可构造△ABC的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明．[证明]　不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC≥aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得≥.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：由题意不妨设a≥b≥c＞

7、0，由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，≥≥.由排序不等式，知ab×＋ac×＋bc×≥ab×＋ac×＋bc×，即所证不等式＋＋≥a＋b＋c成立．4．设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列，62017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，

8、c2≤3，…，cn－1≤n.利用排序不等式，有＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋.∴原不等式成立．对应学生用书P361．有一有序数组，其顺序和为A，反序和为B，乱序和为C，则它们的大小关系为(　　)A．A≥B≥C　　　　　　　　　　B．A≥C≥BC．A≤B≤CD．A≤C≤B解析：由排序不等式，顺