04第四讲 微分方程

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1、第四讲微分方程考纲要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列微分方程：，和.5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，比会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.8.会解欧拉方程.9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.一、基本概念问题1微分方程的基本概念答考纲要求了解

2、微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式.微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数.微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.定解条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件（初始条件和边界条件）.微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解.初值问题（Cauchy问题）：求微分方程满足初始条件的特解.一阶微分方程初值问题：，.二阶微分方程初值问题：，，.微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是

3、一族曲线）.二、一阶微分方程问题2如何求解一阶微分方程？答一阶微分方程的一般形式是：，解出：，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法.求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解.1.可分离变量的微分方程：解法分离变量：；两端积分：.1182.齐次型方程：解法令，则，，代入方程，得并求解.▲可化为齐次型的方程：.解法令，，方程化为，再令求出，，这样方程就化为齐次型方程：.3.一阶线性微分方程：若，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的.解法（常数变易法）先解对应齐次线性微分方程，求得通解；再令非齐次线性微分方程的解为，代入

4、方程求出.其通解公式为▲一阶非齐次线性微分方程的通解对应的齐次线性微分方程的通解非齐次线性微分方程的一个特解.4.伯努利方程：.（与一阶线性微分方程比较）解法令，将方程化为一阶线性微分方程.例题11.【】1182.【】3.【】4.【】5.【】6.，求连续函数，使.【】7.【】8.【】9.当时，是比高阶的无穷小，，，求.【】10.设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解.【】11811.作变量替换，求解.【】例题2综合题1.设为连续函数，⑴求初值问题的解，其中为正常数；【】⑵若（为常数），证明：当时，有.2.设，其中函数，在内满足以下条件：，，且，.⑴求所满足的一阶微分

5、方程；⑵求出的表达式.【⑴；⑵】3.设为可微函数，且对任意恒有，，求满足的一阶微分方程，并求.【；】习题1.微分方程的通解是.【06-1-2，】2.微分方程满足的解为.【05-1-2，】3.微分方程满足的特解为.【05-3-4，】4.微分方程满足的特解为.【04-2，】5.微分方程的通解是.【94-3，】6.微分方程满足的特解为.【93-1-2，】1187.微分方程满足初始条件的特解为.【07-3-4，】8.微分方程的通解为.【08-2-4，】9.设非齐次线性微分方程有两个不同的解，则该方程的通解为.【06-3-4，】三、二阶可降阶的微分方程问题3如何求解可降阶的二阶微分方程

6、？答二阶微分方程一般形式，解出，数学一、数学二的考纲要求掌握下列三种类型可降阶方程的解法：1.型的微分方程特点：右端仅含.解法：积分两次.2.型的微分方程特点：右端不显含未知函数.解法：换元，化为一阶方程求解.步骤如下：⑴令，则，方程化为（这是关于变量，的一阶方程）；⑵解出；⑶再由解出.3.型的微分方程特点：右端不显含.解法：换元，化为一阶方程求解.步骤如下：⑴令，则，方程化为（这是关于变量，的一阶方程）；⑵解出；118⑶再由解出.例题1.求微分方程的通解.解令，则，方程化为，再令，，，，，，，，，，2.求初值问题的解.解令，则，方程化为，分离变量，得，两边积分，得，即.将初

7、始条件代入，得，故，解得，（舍去）.再解，分离变量，得，两边积分，得，将初始条件代入，得，所求特解为，即.▲二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解.3.物体从出发沿轴正向运动，速度大小为，另一物体从118同时出发，始终指向物体，速度大小为，建立物体的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.（93-1）解【利用速度的方向和大小建立方程】设物体的运动轨迹方程为，时刻，物体位于，物体位于，依题意，有，即，对求导，得，，①又，对求导，得，代入①，得，初始条件为，.习题1.微分