旋转相似变换及其本质特征

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1、旋转相似变换及其本质特征江苏省泰州市朱庄中学曹开清225300一、旋转相似变换的概念2007年江苏省南京市中考试卷的第27题给出了一个新概念——旋转相似变换：在平面内，首先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过缩放和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．（1）填空：①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为(，)；②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为；（2）如图

2、3，分别以锐角三角形的三边、、为边向外作正方形、、，点、、分别是这三个正方形的中心，试分别利用△与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系．解析：（1）①，60°；②．（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变换为线段；经过旋转相似变换，得到，此时，线段变换为线段．因为，45°＋45°＝90°，所以，．实际上，这种旋转相似变换是位似变换和旋转变换的“复合变换”．为了便于说明，本文中旋转相似变换的研究对象仅限于三角形，旋转相似中心为三角形的一个顶点，旋转角满足0°<<180°．二、任意三角形旋转相似变换的规律图4~图8是将任意△ABC以顶点A为旋转相似中心作旋转相似变换

3、到△ADE得到的一组图形，其中旋转角分别满足：①0°<<∠BAC；②＝∠BAC；③∠BAC<<180°―∠BAC；＝180°―∠BAC；⑤180°―∠BAC<<180°．图4图5图6图7图8连接BD、CE，设BD或其延长线交CE于点F．由△ABC∽△ADE，易得，∠BAD＝∠CAE，所以△ABD∽△ACE．其相似比，∠ABD＝∠ACE，于是∠BFC＝∠BAC．因此，在这组图形中，△ABD和△ACE的旋转相似变换关系是其本质特征．三、几个特殊三角形旋转相似变换的规律1．等边三角形图9~13，是将等边△ABC以顶点A为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE得到的一组图形，其中旋转角分别满足：

4、①0°<<60°；②＝60°；③60°<<120°；④＝120°；⑤120°<<180°，图9图10图11图12图13连接BD、CE，设BD或其延长线交CE于点F，易得△ABD≌△ACE，∠BFC＝∠BAC＝60°．因此，在这组图形中，将△ABD绕顶点A逆时针旋转60°后变换到△ACE是其本质特征．此外，如图14，当变换到点B、D、E在同一直线上时，则有CE＋AE＝BE．如图15，当变换到DC⊥BC时，则有CA2＋CD2＝CE2．如图16，当变换到点C、D、E在同一直线上时，则有AD＋CD＝BD等等．图14图15图162．等腰直角三角形图17~19，是将等腰直角△ABC（顶角为A）以顶

5、点A为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE得到的一组图形．图17图18图19连接BD、CE，设BD或其延长线交CE于点F易得△ABD≌△ACE，∠BFC＝∠BAC＝90°，即BD⊥CE．因此，在这组图形中，将△ABD绕顶点A逆时针旋转90°后变换到△ACE是其本质特征．3．等腰三角形图20~22，是将等腰△ABC（顶角A为）以顶点A为旋转相似中心作旋转相似变换到△ADE得到的一组图形．图20图21图22连接BD、CE，设BD或其延长线交CE于点F，则有△ABD≌△ACE，所以∠ABD＝∠ACE，于是∠BFC＝∠BAC＝．因此，在这组图形中，将△ABD绕顶点A逆时针旋转角后变换到△ACE

6、是其本质特征．此外，如图22，当变换到BD平分∠ABC时，设BD与AC交于点G，则有线段FC是线段FG和FB的比例中项．上述几个规律可以帮助我们判断在一个图形中是否存在三角形旋转，从而利用旋转知识解决问题，下面举例说明：例1如图23，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积．图23解析：根据已知条件，△BDF可以看成是△ABC绕点B逆时针旋转60°后形成的，于是△BDF≌△BAC．同理可证△CEF≌△CAB．由此可得四边形AEFD是平行四边形，而∠DAE＝150°，所以四边形AEFD的面积为6．例2如图24，在梯形AB

7、CD中，AB//CD，∠BCD＝90°，且DC＝2AB，tan∠ADC＝2．(l)求证：DC＝BC；(2)若E是梯形内一点，且EB＝2，EC＝4，∠BEC＝135°，求ED的长．图24解析：(l)过点A作AH⊥DC，垂足为H．因为DC＝2AB，所以DH＝AB．因为tan∠ADC＝＝2，所以AH＝2DH，所以BC＝2AB．所以DC＝BC．(2)以CE为一条直角边、C为直角顶点作等腰直角△CEF，则EF＝4，连接BF．易证△CDE≌△CBF，所以E