课程02-随机过程-教案b-第01章

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1、第1章概论§1.1基本概念1.1.1随机过程设是概率空间，T是直线上的参数集（可列或不可列的）。若对每一个，是随机变量，则称为该概率空间上的随机过程。在固定时刻t，是一个随机变量；对应每一个随机变量，有一个概率空间，即是样本空间内的一个随机变量。可用分布函数描述，这是一阶分布函数。例1.1概率分布为，于是概率密度函数为1.1.2概率密度函数（PDF:ProbabilityDensityFunction）1.1.3二阶概率分布函数（CDF：CumulativeDistributionFunction）相应地，PDF为n维CDF

2、表示为随n®¥，可以获得对的统计特性起来越精确的描述。1.1.4四种重要的随机过程时间：连续参数和离散参数；状态：连续和离散。1-12§1.2举例例1.2一维随机游动：一质点在X轴上随机随动，时在原点，时在X轴上正向或反向移动一个单位距离，正向移动概率p，负向移动概率q，p+q=1；在时刻n，质点位置为x，求x的概率分布。解：x是一个随机变量。在时刻n，质点移动n次，设其中正向m次，负向n-m次，则因为，于是，此外，还有二维随机游动，向上、向下或向左、向右随机地移动。例1.3脉冲数字信号，脉宽为常数，脉冲幅度是随机变量，可能

3、取值，取四个值的概率均1/4。不同周期内的脉冲幅度相互独立，初始脉冲沿u是在内均匀分布的随机变量，求与间的联合PDF。解：①当时，肯定不处于同一个脉冲内，相互独立，所以联合PDF为1-12②时，处于不同脉冲内（记为事件C），也可以处于同一脉冲内（记为事CC），且。因此，联合PDF为其中，设，且q为所在脉冲的前沿，于是q是上均匀分布的随机变量。因此，为q在上出现的概率。于是于是，的联合概率密度函数为例1.4设。其中，A是常数，w是常数，f是均匀分布于间的一个随机变量。求在t时刻的PDF。解：在时刻t，对应的随机变量与f的关系为

4、1-12由于是可得由此可见，的PDF与t无关，是一级平稳过程。例1.5设同例1.4，求t1和t2间的联合PDF。解：首先，将联合概率密度函数分解为其中，所以，或在例1.4中给出。该过程是可预测过程，在x1和t1给定条件下，t2时刻取值x2的概率为1，所以因此，由此可见，这是一个二阶平稳过程。例1.6在例1.4中的，若A也是个随机变量，服从瑞利分布1-12并且A与f之间相互独立。求二维联合PDF。解：由于A与f相互独立，所以设辅助变量，原随机变量。雅可比为于是，其中，。所以，由此可见，相差相位的两点间的联合PDF是联合正态分布

5、的。做边缘积分可得一维PDF是正态的（这与教材（陆）p.35习题4的结果一致）。下面求二维PDF，设雅可比为所以，1-12其中，于是，其中，，。由此可见，是二级平稳。例1.7如例1.3的脉冲信号，若脉冲幅度服从正态分布，且不同周期内幅度相互独立，求二维联合概率密度函数。解：当时，两个时刻肯定处于不同的周期内，即相互统计独立。于是当时由此可见，一维虽然是正态的，但是二维不一定是正态的。§1.3随机过程的数字特征1.3.1均值（数学期望）这种平均叫“集平均”。表示在t1时刻的“摆动中心”。1.3.2方差和标准差（均方根差）1-1

6、2叫方差（二阶中心矩），叫“标准差”或“均方根差”。表示在t1时刻对于均值的偏离程度。1.3.3自相关函数这是“二阶混合原点矩”。1.3.4自协方差函数当时，这是“二阶混合中心矩”。1.3.5相关性两个随机变量间的相关程度由相关系数r衡量，其定义为（1）当时，之间存在线性关系，即。因此，的联合概率密度函数为（2）当r=0时，之间“不相关”，是指不存在线性关系，但可以存在其它的非线性关系，因此不一定是独立的；（3）当时，线性无关。（线性无关不一定是“不相关”）。1-121.3.6一组随机变量间的相关性设有一组随机变量，其相关矩

7、阵的元素。由的非负定性（定理1.2）可知，对于任意，有也就是。（见P.123来至P.14首证明）（1）若存在一组不全为零的，使则称线性相关。（2）若只有当时，才等于0，则称线性无关。实际上，当线性无关时，它们的相关矩阵为正定阵，线性相关时为奇异阵，即。对于协方差阵也是这样。对于两个随机变量,，线性相关时；但是，线性无关并不一定是“不相关”，线性无关与对应。例如，和（a为常数，q~U（0，2p）），则；当或p时，即线性相关；当时，，与不相关，即不存在线性关系，然而存在非线性关系。1.3.7正交若，则与正交。而不相关是，即=0。

8、因此，若中至少有一个为零均值，则，即由“不相关”可得“正交”。例1.8，；A，w为常数。求的均值和相关函数。解：首先，均值为1-12为常数，与t无关。由此可见，只与时间差有关。称之为“宽平稳随机过程”。例1.9随机电报信号（1）在任何时刻t，取值为0或1，概率均为1/2。（2）每个状态的持