中考数学复习：一元二次方程与二次函数

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1、中考数学复习：一元二次方程与二次函数中考数学专题4一元二次方程与二次函数第一部分真题精讲【例1】已知：关于的方程．⑴求证：取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数的图象关于轴对称．①求二次函数的解析式；②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于的同一个值，这两个函数所对应的函数值均成立；⑶在⑵条下，若二次函数的图象经过点，且在实数范围内，对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数的解析式．【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论=0和≠0两种情况，然后

2、利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数恰好是抛物线的一条切线，只有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将用只含a的表达式表示出,再利用,构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果【解析】解：（1）分两种情况：当时，原方程化为，解得，（不要遗漏）∴当，原方程有实数根当时，原方程为关于的一元二次方程，∵∴原方程有两个实数根（如果上面的方程不是完全平方式该怎样

3、办？再一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述，取任何实数时，方程总有实数根（2）①∵关于的二次函数的图象关于轴对称，∴（关于轴对称的二次函数一次项系数一定为0）∴∴抛物线的解析式为②∵，（判断大小直接做差） ∴（当且仅当时，等号成立）（3）由②知，当时，∴、的图象都经过（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）∵对于的同一个值，，∴的图象必经过又∵经过，∴（巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）设∵对于的同一个值，这三个函数所对应的函数值均成立，∴，∴又根据、的图象可得，∴（a>0时,顶点纵坐标就是函数

4、的最小值）∴∴而只有，解得∴抛物线的解析式为【例2】关于的一元二次方程（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线=x+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为=x+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线

5、,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能【解析】：（1）由题意得解得解得当且时，方程有两个不相等的实数根（2）由题意得解得（舍）(始终牢记二次项系数不为0)（3）抛物线的对称轴是由题意得(关于对称轴对称的点的性质要掌握)与抛物线有且只有一个交点(这种情况考试中容易遗漏)另设过点的直线（）把代入，得，整理得有且只有一个交点，解得综上，与抛物线有且只有一个交点的直线的解析式有，【例3】已知P（)和Q（1，）是抛物线上的两点．（1）求的值；（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线的图

6、象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．【思路分析】拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。第二问依然是判别式问题，比较简单。第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。【解析】(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线

7、对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以，抛物线对称轴，所以，．（2）由（1）可知，关于的一元二次方程为=0．因为，=16-8=80．所以，方程有两个不同的实数根，分别是，．（3）由（1）可知，抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位后的解析式为．若使抛物线的图象与轴无交点，只需无实数解即可．由==<0，得又是正整数，所以得最小值为2．【例4】已知抛物线，其中是常数．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．【思路分析】本题第一问较为简