案例辨析——数学概念教学的有效途径

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1、案例辨析——数学概念教学的有效途径江苏省丰县中学江远忠（中文摘要：数学学习，其中很重要的一项内容就是数学概念的学习。数学概念教学教师应以独具匠心的案例设计，师生恰当的互动交流，借之以学生探索、辨析、感悟以及批判性思维活动，让学生对数学概念理解、掌握和应用。关键词：数学概念，辨析）数学学习，其中很重要的一项内容就是数学概念的学习，实践表明，学生在解题中出现的错误或思维活动中遇到的障碍，往往是由于没有正确理解、掌握有关的数学概念而造成的。但概念学习不是一个简单的的过程，而是一个复杂的、多阶段、多层次的认知活动过程。审视传统的数学概念课，教师常常一味从自

2、己的理解和愿望出发，讲解概念，殊不知，教师言之谆谆，学生听之藐藐；教师不厌其烦，学生无动于衷。然而如果摒弃对概念理解的繁琐叙述，以独具匠心的案例设计，师生恰当的互动交流，借之以学生探索、辨析、感悟以及批判性思维活动，让学生对数学概念理解、掌握和应用，使教学概念课真正从“机械重复”走向“互动生成”。1.在辨析中比较，让概念的导入和“生成”水到渠成从概念的同化来说，要想掌握新概念，学生必须掌握那些作为定义项的概念，从新概念的形成来说，学生必须具有刺激模式方面的有关知识和经验，否则，就不可能从中抽象出本质的属性。因此，教师在教学中，为了使学生易于接受和掌

3、握数学概念，应先创设学习新概念的情境，想方设法唤起学生原有认知结构中的有关知识和经验，让概念的导入符合事物发展的规律,让学生在活动中思考、感悟和体验数学知识的萌芽以及发生、发展的全过程，以领悟数学思想方法的真谛，丰富学生的认知结构。[案例1]“向量的数量积”这一定义式，往往学生在学了一段时间之后仍迷惑，数量积怎么要定义成这样一个式子？以致把数量积与算术中的乘法相混淆，出现“向量中的乘法和原来学过的乘法不一样了！”的错误认识。为此，笔者在给出这个概念时，采取以下思路：先给出学生初中已经熟悉的物理中的情景：已知一物体在力F的作用下发生位移S，那么做功为

4、：，（其中是F与S的夹角）。在向量中，也有极其类似的情形：向量a、b及其夹角（如右图），你能给出什么运算结果？学生自然而然地回答表达式：｜a｜｜b｜！那好我们就把这个运算表达式记作ab，读作“向量a与b的数量积”。然后对比“功”的数量特征给出“数量积”的数量特征。在这里，物理问题情境的创设起到触发学生思维的“信息源”的作用，学生通过比较，发现“ab”这种运算定义式合情合理，一个新结构式产生了！然后就像用“W”表示“功”一样，我们用“ab”表示“｜a｜｜b｜”。这种过程使得新概念在原有知识基础上自然得到同化和顺应。当然要使概念的导入和“生成”水到渠成

5、，教师必须尽可能为学生选择一个好的素材、创设一个好的数学情景。要能有效激发学生的求知欲和创新精神，促使他们积极主动地去发现、探索，而不是一个新概念的简单实例化的再现。[案例2]新教材（苏教版）“交集、并集”这一概念的教学，教材上安排的教学情境是：用Venn图分别表示下列各组中的三个集合：（1），，5（2），，（3）（略）上述集合中，A、B、C具有怎样的关系？编者在这里的思路非常清楚，借助实例向学生直观展示交集的概念。但由于太直观简单，学生基本不需要探索、抽象、概括等思维活动就能轻松获取新知识，学生投入的积极性并不会很高，而且对于难点（并集的定义）又

6、没有提供背景材料。于是笔者在组织教学时，选择教材的一个例题：“学校先举办排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了一次田径赛，这个班有20名同学参赛。已知两项都参赛的有6名同学，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？”作为引入问题让学生讨论，通过画图及演算，学生能得出19名的答案。然后引导学生对求解过程进行反省，结合Venn图，学生便能自己抽象概括出交集与并集的定义。尤其是对于并集定义中“或”的意义（本节课的难点）有了深入的理解，即含有三层意义①x∈A但xB；②x∈A且x∈B；③x∈B但xA。这样安排，使学生动手动脑的同时，自然感悟出新的

7、概念。2．在辨析中调整，准确把握概念的“内涵”和“外延”郑毓信教授曾经这样说过：“现代教学思想的一个重要内容，即是认为学生的错误不可能单纯依靠下面的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个‘自我否定’的过程”。在这个过程中，学生经历着好奇、惊喜、迷惑、困顿，最后茅塞顿开，使得在教学过程的种种细节处能够起到及时地开发，巧妙地利用，智慧地引领，同时唤醒学生的悟性和灵感，以达到对数学概念真正的理解。[案例3]在“概率”一节中，为帮助学生区别古典概型与几何概型的概念，我提出了以下问题：连续掷两次骰子，以出现的点数作为点中的，问点落在圆内的概率是多少？这样的问

8、题，学生会脱口而出——几何概型问题！算一下圆面积与正方形面积的比不就清楚了吗。仔细推敲，却另有情形，发现是在可能的36个点