数学选修2-2_推理与证明例题

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1、一、教学内容：选修2－2推理与证明二、教学目标：1.理解合情推理与演绎推理；了解分析法和综合法；了解反证法。2.掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程.三、知识要点分析：1.推理根据一个或几个事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫推理.从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论.2.合情推理：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象

2、具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（3）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么

3、它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；（4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。3.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。4.综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数

4、学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。综合法的思维特点是：由因导果5.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。分析法的思维特点是：执果索因6.假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法，用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）根据假设

5、进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假设不成立；（4）肯定原命题的结论成立。可能出现矛盾的四种情况：①与题设矛盾；②与假设矛盾；③与公理、定理矛盾；④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。7.运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基（或递推基础），第二步是归纳递推（或归纳假设），两步缺一不可8.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等【典型例题】考点一：归纳推理例1、通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。；；；【解题思路】注意观察四

6、个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性，（2）观察角的“共性”【解析】猜想：证明：左边===右边【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）考点二：类比推理例2、观察下列等式：高考资源网，，，，高考资源网………由以上等式推测到一个一般性的结论：对于，.答案：【解析】这是一种需用类比推理方法破解的问题，结论由二项式构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，。反思：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向

7、空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等考点三：演绎推理例3.证明函数f（x）＝－x2+2x在（－∞，1）上是增函数.证明：满足对于任意x1，x2∈D，若x10因为x1，x2<1所以x1+x2－2<0因此f（x1）－f（x2）<0，即f

8、（x1）