三角恒等变换专题

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1、三角恒等变换专题复习(一)2012-8-7一、基本内容串讲1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下:;;对其变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),有时应用该公式比较方便。2.二倍角的正弦、余弦、正切公式如下:...要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—升次).特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形,这两个形式常用。3.辅助角公式:4.简单的三角恒等变换(1)变换对象:角、名称和形式,三角变换只变其形,不变其质。(2)变换目标:利用公式简化三角函数式,达到化简、计算或证明的目的。(3)变换依据:两角和与差的正弦、

2、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。(4)变换思路:明确变换目标,选择变换公式,设计变换途径。5.常见题目类型及解题技巧(最后师生共同总结)二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、的值等于()2、若,,则等于()考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、coscos的值等于()4、已知,且,那么等于()7考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换5、已知则的值等于()6、已知则值等于()7、函数是(C)(A)周期为的奇函数(B)周期为的偶函数(C)周期为的奇函数(D)周期为的偶函数三、解题方法分析1.熟悉三角函数公式,从公式的内在联系上寻

3、找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多,要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系,做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式,要抓住问题的实质,善于联想,灵活运用。例1设则有()【点评】:本题属于“理解”层次,要能善于正用、逆用、变用公式。例如:sincos=,cos=,,,,,,,tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)等。另外,三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一,引进辅助角,将它化为即asinx+bcosx=(其中)是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx,±sinx±cosx,要熟练掌

4、握其变形结论。2.明确三角恒等变换的目的,从数学思想方法上寻找突破口(1)运用转化与化归思想,实现三角恒等变换`【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想,应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例2.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值.(-(本题属于“理解”层次,解答的关键在于分析角的特点,2α=(α-β)+(α+β))7例2解答:例3.化简:[2sin50°+sin10°(1+tan10°)]·.【解析】:原式==.【点评】:本题属于“理

5、解”层次,解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法,再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简.化简时要求使三角函数式成为最简:项数尽量少,名称尽量少,次数尽量底,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的尽量求出值来。(2)运用函数方程思想,实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种,其变换的实质仍是函数的变换。因此,有时在三角恒等变换中,可以把某个三角函数式看作未知数,利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例4:已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求的值.。【解析】`===-17【点评】:本题属于“理解”层次,考查学生对所学

6、过的内容能进行理性分析,善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。7(3)运用换元思想,实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简,促使未知向已知转化,可以利用特定的关系,把某个式子用新元表示,实行变量替换,从而顺利求解,解题时要特别注意新元的范围。例5:若求的取值范围。【解析】:令,则即∴,即【点评】:本题属于“理解”层次,解题的关键是将要求的式子看作一个整体,通过代数、三角变换等手段求出取值范围。3.关注三角函数在学科内的综合,从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛,主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联

7、系与综合,特别是与平面向量的综合,要适当注意知识间的联系与整合。例6:已知:向量,,函数(1)若且,求的值;或(2)求函数取得最大值时,向量与的夹角.【解析】:∵=(2)∴,当时,由得,   ∴【点评】:本题属于“理解”中综合应用层次,主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力.7四、课堂练习1.sin165º=()A. B.C.D.2.sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是()A.B.C.D.3.已知,,则()A.B.C.D.4.化简2sin(-x)·sin(+x),其结果是(   ) A.sin2x   B.cos2x   C.

8、-cos2x   D.-sin2x5.sin—cos

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