三角恒等变换专题

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1、三角恒等变换专题复习（一）2012-8-7一、基本内容串讲1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：;;对其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。2．二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：...要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，这两个形式常用。3.辅助角公式：4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、

2、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5.常见题目类型及解题技巧（最后师生共同总结）二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。1、的值等于（）2、若，，则等于（）考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、coscos的值等于（）4、已知，且，那么等于（）7考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换5、已知则的值等于（）6、已知则值等于（）7、函数是（C）（A）周期为的奇函数（B）周期为的偶函数（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数三、解题方法分析1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻

3、找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。例1设则有（）【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：sincos=，cos=，，，，，，，tanα＋tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为即asinx+bcosx=（其中）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌

4、握其变形结论。2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例2．已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．（－（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点，2α=（α－β）+（α+β））7例2解答：例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·．【解析】：原式==．【点评】：本题属于“理

5、解”层次,解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例4：已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值．。【解析】`===－17【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学

6、过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。7（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例5：若求的取值范围。【解析】：令，则即∴，即【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联

7、系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例6：已知：向量，，函数（1）若且，求的值；或（2）求函数取得最大值时，向量与的夹角．【解析】：∵＝（2）∴，当时，由得，　　　∴【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力.7四、课堂练习1．sin165º=（）A．　B．C．D．2．sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（）A．B．C．D．3．已知，，则（）A．B．C．D．4．化简2sin（－x）·sin（+x），其结果是（　　　）　Ａ．sin2x　　　Ｂ．cos2x　　　Ｃ．

8、－cos2x　　　Ｄ．－sin2x5．sin—cos