浅谈用波利亚解题思想解数学应用题

浅谈用波利亚解题思想解数学应用题

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1、浅谈用波利亚解题思想解数学应用题       辽宁省本溪县高级中学  于福群实际应用题是高考数学题的一种重要题型,同时对于培养学生的数学应用意识、数学建模能力,训练学生的抽象思维能力,都有着重要的作用。但由于种种原因,很多同学对应用题望而生畏.我想一个重要原因是缺乏正确的解题方法作为指导.本文尝试从波利亚的解题思想来探求应用题的解法。波利亚在《怎样解题表》中指出,解题的四个主要步骤是:一、弄清问题;二、拟定计划;三、实施计划;四、回顾。下面举例说明。题目:某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如下图)。由于地形限制,长、宽都不能超过16米

2、。如果池周围四壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米长248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁厚度不计。试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价。一、弄清问题.弄清问题,也就是审题。笔者认为主要包括两个方面:背景分析和量与数的分析。1、背景分析:通过读题,理解题中叙述的是怎样的一个事件,不清楚的地方要多读几遍,抓住问题中的关键信息。本题说的是拟建一个三级污水处理池,怎样设计长和宽,使总造价最低的问题。由题意可知关键信息应是各部分造价的计算。在做题中,有同学问:池四壁和两道隔墙的单价为什么按每米算,而不按每平方米算呢?这说明学生对问题的背景

3、不熟,他们不知道在建筑上墙的造价是按长度来计算的。由于学生对此不了解,从而造成思路阻塞。这就要求:①学生对问题做出科学的分析,并坚定自己的信心;②学生平时就要对留心生活中的事物与数学的联系,深入探究,虚心求教,不断积累。比如,银行利率的计算;出租车记费等。③要善于把问题进行类比、联想。把握住问题的相似之处,合理地推理、迁移。比如,1999年高考数学第22题,是一道以轧钢为背景的问题,虽然背景比较生疏,但却与实际生活中的擀面相似,是等体积几何模型问题。2、量与数的分析:数学研究的是空间形式和数量关系的一问科学。在数学应用题中研究数量关系的问题比较多。在理解背景的基础上,分

4、析问题中涉及到哪些量,哪些量是已知的,哪些量变是未知的,哪些量可以求出,哪些量不能求出?例如,本题中涉及到的量有:⑴ 污水处理池矩形的面积:200m2;⑵ 池底建造单价:80元/m2;⑶ 污水处理池矩形的长和宽:不超过去16m;⑷ 池四周围壁的建造单价:400元/m;⑸ 中间两道隔墙建造单价248/m;⑹ 总造价。这个问题中涉及到6个量,分别如上。(在做题时,在草纸上把这些量记录下来,以便于分析)。由上面的记录可知:矩形池的长和宽、总造价是未知量。可设出矩形的长为xm,总造价为Q(x)元.  我们在分析题意时,要对背景信息进行深加工,而不能只停留在问题的表面。要善于从数

5、学的思维角度去分析题意,抽象出题目所提供的信息中的各种量和数值。也就是要发现信息,记录信息,转译信息。  二、拟定计划。  就是考虑怎样把实际问题,转化成数学问题。在上一步,我们分析出了问题中涉及到的量,现在进一步研究各个量之间的关系,进行数学化设计,建立数学模型(一般有函数模型、方程模型、数列模型、不等式模型、几何模型、概率模型等)。本题我们不难得到矩形池的长、宽和面积的关系。设长为xm,则宽为()m.再由题意可知,总造价由三部分组成:①围壁的造价=围壁建造单价×围壁的长度,即为400×(2x+2×)元;②两道隔墙的造价=隔墙的单价×隔墙的长度,即为(248×2×)元

6、;③池底的造价=池底建造单价×池底面积,即为80×200元。而总造价=围壁的造价+两道隔墙的造价+池底的造价。我们把这些自然语言转译成数学语言,即可得Q(x)=400×(2x+2×)+248×2×+80×200=800×(+)+16000.至此,我们得到了矩形的长x与总造价Q(x)之间的函数关系,函数模型建立起来了。三、实施计划。实施计划是对已建立起来的数学模型用数学方法求解的过程。本题要求污水池的长和宽,使总造价最低。虽然是两个问,但我们要抓住问题的主要方面,即求最低造价。相应地矩形的长和宽亦可求出了。那么,现在问题就转化为求函数Q(x)的最小值。有同学是这样做的:Q

7、(x)=800×(+)+16000≥800×+16000当且仅当(x>0),即当x=18时,上式等号成立。这位同学的解答是错误的,是同学当中普遍存在的错误。这些同学只注意了题目形式上的特点:符合用均值不等式求最值的形式。而忽略了用均值不等式求最值的条件:一正、二定、三相等。由题意知,0

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