《等比数列前n项和》教案分析

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1、《等比数列前n项和》教案分析《等比数列前n项和》教案分析一、教材分析1、地位和作用《等比数列的前n项和公式》这一节内容是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前n项和公式的基础上进行的。是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。2、重点和难点本节的重点就是等比数列的前n项和公式及其初步应用；难点是公式的推导方法。3、教学目标基于以上分析，按照《教学大纲》的要求及学生的素质确定以下教学目标：认识目标：理解并掌握等比数列的前n项和公式及其推导方法；熟练掌握运用公式求和。素质目标：向学生渗透特殊到

2、一般、类比与转化、分类与讨论等数学思想。培养学生良好的学习习惯和数学思维的深刻性、广阔性等思维品质。4、教学方法本节将采用“多媒体优化组合—激励—发现”式教学模式进行教学。该模式能够将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围。、教学手段教学中，利用投影仪、微机这些现代化教学媒体激发学生的学习兴趣，启迪学生思维，增大堂容量，提高堂效率。二、教学过程1、题的引入首先给出以下实例引例：某建筑队，由于资金短缺，向某砖厂赊借红砖盖房，双方约定，在一个月（30天）内，砖厂每天向建筑队提供

3、10000块砖，为了还本付息，建筑队第一天要向厂方返还1块砖，第二天返还2块砖，第三天返还4块砖，……。即每天返还的砖数是前一天的2倍，请问，假如你是厂长或是建筑队长，你会在这个合约上签字吗？这是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境，让学生直接参与了“市场经济”。根据心理学，情境具有暗示作用，在暗示作用下，学生自觉不自觉地参与了情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会极大的调动起。在教师的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起两个等比数列的数学模型。（演示）如屏幕显示，数列{an}是以1

4、0000为首项，1为公比的等比数列，即常数列。数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列。当学生跃跃欲试要求这两个数列的和的时候，题的引入已经水到渠成。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入题。2、公式的推导这里我讲述的主要是怎样利用多媒体激励、启发学生思维，突破教材难点。等比数列有两大类：公比q=1和q1两种情形当q=1时，Sn=na1当q1时，Sn=a1+a1q+……+a1qn-1=q1时，Sn的结果是怎么推导出的呢？本节的难点就在于此。预习过本的学生会知道这个结果以及推导过程，但是他们知其然而不知其所以然，可以说

5、大部分学生根据他们掌握的知识和经验是难以推出这个公式的。因此，要通过复习等差数列的求和公式，借助推导等差数列求和公式的方法，找出推导等比数列的前n项和公式的方法！（演示）下面演示一下等差数列的前n项和公式的推导过程。现在将a1与an，a2与an-1，所有与首末等距两项交换位置，得到Sn的倒序和的形式。然后两式相加。这样2Sn就是一个有n项的每一项都是a1+an的常数列。从而导出了Sn的公式。等差数列的求和方法是根据等差数列的特点和根据学生的知识结构和认知水平产生的，形式上是倒序相加，本质上就是消去数列中项与项之间的差异，构造一个

6、新的各项相同的常数列，然后根据常数列的和导出Sn的公式。那么等比数列是不是也可以用倒序相加的方法，构造出一个常数列或者部分常数列呢？让学生亲自去试一试，结果呢？显然倒序是行不通的。这时教师的主要任务是要让学生的思维迅速发散——从倒序相加的定势中解脱出。抓住学生迫切想解决这个问题的心态，及时地通过媒体进行启发。老师要告诉学生，构造常数列或者部分常数列的思路是正确的。既然倒序行不通，那么还有没有其它的方式构造常数列呢？接着要引导学生从等比数列的定义出发，进一步认识等比数列从第二项起，每一项都是前一项的q倍，也就是说将每一项乘以q以后

7、就变成了它的后一项，那么将Sn这个和式的两边同时乘以q，在qSn这个和式中的第一项就是Sn的第二项也就是Sn和qSn之间产生了一个错位。由两个和式能否构造常数列或者部分常数列的和式呢？相加行不行？显然不行！相减行不行？显然行。将Sn和qSn相减后，中间就得到了n－1项各项都是0的常数列,找到了这个常数列，难点就突破了，Sn的导出就容易了，导出了Sn就基本上达到了本节的认知目标。为了加深理解，这时还应该对等差、等比两种数列的求和公式的推导过程进行类比和分析：两种数列求和的基本思路都是构造常数列，构造常数列的思想也是其他一些数列求和

8、的基本思想。等比数列在构造常数列的过程中，采用“错位相减”，等差数列采用的是“倒序相加”，倒序相加本质上也是“错位相加”，是一种大幅度的“错位相加”，等比数列只不过是步幅为1的小幅度的“错位相加”。说明一下，在Sn的和式中，两边同时乘以q是解决问题——构造常数列