2010年考研数学一真题及解析

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1、2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)极限(A)1(B)e(C)(D)答案：C详解：=(2)设函数，由方程确定，其中F为可微函数，且，则=()(A)(B)(C)(D)答案：B详解：(3)设是正整数，则反常积分的收敛性(A)仅与的取值有关(B)仅与取值有关(C)与取值都有关(D)与取值都无关答案：C详解：(4)(A)(B)(C)(D)答案：D详解：(5)设A为型矩阵，B为型矩阵，E为阶单位矩阵，若AB=E，则()(A)

2、秩秩(B)秩秩(C)秩秩(D)秩秩答案：A解析：由于，故，又由于，故①由于A为矩阵，B为矩阵，故②由①、②可得，故选A。(6)设为4阶对称矩阵，且，若的秩为3，则相似于()(A)(B)(C)(D)答案：D解析：设为A的特征值，由于，所以+=0，即(+1)=0,这样A的特征值为-1或0.由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即，因此，，即。(7)设随机变量x的分布函数，则=()(A)0(B)(C)(D)答案：C解析：(8)设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则a，b应满足()(A)(B)(C)(D)答案：A解析：，利用概率密度的性质所以二

3、、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设，求=_________.答案：0详解：，(10)=__________.答案：详解：令原式===(11)已知曲线L的方程为，起点是，终点，则曲线积分=________.答案：0详解：=====0(12)设，则的形心的竖坐标=__________.答案：1详解：==(13)设，，，若由形成的响亮空间维数是2，则=__________.答案：解析：因为由于形成的向量空间维数为2，所以。进行初等行变换：所以。(14)设随即变量Ｘ概率分布为…则=_________.答案：2解析：所以即服从

4、参数为1的泊松分布。三、解答题：15-23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求微分方程的通解解先求方程的接通有特征方程解得特征根所以方程的通解为设特解为，带入得，故特解为故方程的通解为(16)(本题满分10分)求函数的单调区间与极值解所以令，则又，所以是极大值。，所以为极小值。因为当时，时，时，，时，所以的的单调递减区间为的单调递增区间为(17)(本题满分10分)(Ⅰ)比较与的大小，说明理由(Ⅱ)记，求极限解：(Ⅰ)当时，故，所以(Ⅱ)故由，根据夹逼定理得故(18)(本题满分10分)求幂

5、级数的收敛域及和函数。答案：收敛域为详解：(1)令时级数收敛.当时，，由莱布尼兹判别法知，此级数收敛，故原级数的收敛域为.(2)设令，.幂级数的和函数为.(19)(本题满分10分)设为椭球面上的动点，若在点处的切平面为面垂直，求点的轨迹，并计算曲面积分。，其中是椭球面位于曲线上方的部分解析：(Ⅰ)令故动点的切平面的法向量为；由切平面垂直，故所求曲线的方程为(Ⅱ)由得在的投影为故(20)(本题满分11分)设已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解(Ⅰ)求，a;(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解。解析：(Ⅰ)已知有2个不同的解又知或。当时，，此时，无解，。代入由得(Ⅱ)原方程组

6、等价为，即，.的通解为，k为任意常数.(21)(本题满分11分)已知二次型在正交变换下的标准型为，且的第三列为.(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵解析：(1)由于二次型在正交变换下的标准形为，所以A的特征值为由于Q的第3列为，所以A对应于的特征向量为。由于A但是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于的特征向量为，则，即。取则，与是正交的，且为对应于的特征向量。由于，是相互正交的，所以只需要单位化：。取,则，(2)由于A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1，由于A+E的特征值全大于零，故A+E是正定

7、矩阵。(22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为，，，求常数及条件概率密度解析：利用概率密度的性质得到(利用正态分布的概率密度为1，即)得到的边缘概率密度为条件概率密度(23)(本题满分11分)设总体的概率分布123其中未知，以来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为)中等于的个数。试求常数，使为的无偏估计量，并求的方差。解析：==因为是的无偏估计量，所以即得整理得到所以统计量