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1、本科生毕业论文题目:例谈变形技巧在数学解题中的应用所在院系:专业:姓名:学号:指导教师:数学与信息技术学院数学与应用数学1120510125论文完成日期:2013年5月2日—2—目录摘要……………………………………………………………………1一、变形的相关理论…………………………………………………2二、变形技巧在一元二次方程中的应用……………………………3三、变形技巧在因式分解中的应用…………………………………5四、变形技巧在不等式中的应用……………………………………7五、变形技巧在三角函数中的应用…………………………………9参考文献……………………………………
2、…………………………11—2—摘要:变形是数学解题的一种基本方法,变形能力的强弱制约着解题能力的高低.本文主要探讨变形技巧在一元二次方程、因式分解、不等式和三角函数解题中的应用.掌握并灵活运用好变形技巧,可以将复杂问题简单化,减少麻木性,提高解题效率.关键词:数学解题；变形技巧；一元二次方程；因式分解；基本不等式；三角函数中图分类号:O119文献标识码:A-16-例谈变形技巧在数学解题中的应用陈海霞（1120510125）数学是个有机的整体,各部分之间相互联系,相互渗透,从而构成相互交错的立体空间,对各部分知识间的灵活掌握,更需要融会贯通.[1]近些年,数学题
3、目越来越新颖,技巧性强,对有些题目进行适当变形,把复杂的数学问题简单化,从而顺利求得问题的答案.掌握并灵活运用好各类问题的变形技巧,有助于培养学生的逻辑推理能力,运算能力和空间想象能力,同时,用变形的方法,有助于把握数学问题的本质,它既是教师常用的一种重要数学方法,也是学生解题时一种非常有效的思想方法.此外,数学的学习内容是有意义的,富有挑战性的,要重视学生的学习能力和学习方法,充分利用数学变形技巧进行解题,不断提升学生的数学素质.[2]一、变形的相关理论变形是数学解题的一种常用方法,变形能力的强弱制约着解题能力的高低.[1]变形是为了达到某种目的或需要而采取
4、的一种手段,是化归、转化和联想的准备阶段,它属于技能性的知识,既灵活又多变,一个公式,一个法则,它的表达形式多种多样,也存在技巧与方法,在实践中反复操作才能把握,-16-能够让学生更好的理解变形技巧,乃至灵活运用.变形的一般形式主要有以下三种:1.等价变形等价变形就是利用等价关系进行的变形,在等价关系的条件下,通过等价变换的方式使数学问题得到解决,等价变形的本质就是在保持原来各种量之间的关系不变的情况下,只是改变它们的表达形式.常见的等价变形依据有:根据特定概念的定义,对数式,指数式的相互转化,如对数函数,可以等价变形为;根据等式与不等式的基本性质,比如移项,
5、系数化为;根据计算的结果,将具体方程或不等式的形式转化为其具体的解或解集等.2.恒等变形恒等变形是在等价变形的思想指导下进行的,它的变形形式有代数式恒等变形、多项式恒等变形、分式恒等变形、三角函数恒等变形、对数式恒等变形等.若将两个代数式子中的字母换成任意相同的数值,这两个代数式的值都相等,我们就称这两个代数式恒等,表示两个代数式恒等的式子叫做恒等式.如是一个恒等式,把式子变为的这步变形,使变形的式子恒等,我们把这样的变形叫做恒等变形.3.同解变形同解变形是在等价转化思想的指导下,通过等价的变换,使得原来的等式与变形的等式有相同的解.-16-方程的同解变形的一
6、般形式有:交换其中任意两个方程的位置,其余不变;将任一个方程乘以一个非零的常数,其余不变;将任一个方程的常数倍加到另一个方程上,其余不变.需要注意的是:①方程两边同时加上或减去同一个分式不是同解变形,如方程的两边都加上,得,原方程的解为,而变形后的方程无解.②方程两边同时乘以不是同解变形,如方程的两边都乘以,得,即,此方程的解为任何实数,而原方程的解为.③方程两边同时乘以或除以同一个整式不是同解变形,如方程的两边都乘以,得,原方程的解为,而变形后的方程解为,.④方程两边平方不是同解变形,如方程,两边平方,得,原方程的解为,而变形后的方程解为,.二、变形技巧在一
7、元二次方程中的应用学生在平时学习中不善于积累变形经验,在稍复杂的问题面前常因变形方向不清,导致问题难以解决,有些含有或可转化为一元二次方程的代数问题,能对方程进行适当变形并施以代换,常常可使问题化繁为简.[3]下面列举说明.例1已知,是方程的两根,求的值.分析:作为方程两根,,地位是平等的,而所求式子中,的次数相差悬殊,应设法将的次数降下来,由-16-,得,从左向右次数降低了,对可进行连续降次,最终降为一次,即,于是,所以只要求出即可.解:因为是方程的根,所以,即,则,所以,又因为,是方程的两根,由韦达定理得,于是.本题若按步就搬地求出,的值,则计算较复杂,而
8、且容易出错,而通过变形的技巧先从结论出
