离散型随机变量的数字特征课堂笔记

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1、复习：1、离散型随机变量的概率分布律2、离散型随机变量概率分布律满足：（1）pi≥0,i=1,2,⋅⋅⋅+∞+pi=13、求离散型随机变量概率分布律的步骤：（1）确定随机变量的所有可能的值xi（2）求出各取值的概率P(X=xi)=pi（3）列出表格Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…121ipp=+⋅⋅⋅=∑（2）§2.1离散型随机变量的数字特征前面讨论了离散型随机变量的概率分布，它完整地描述了随机变量的概率性质，而数字特征则是由概率分布所决定的常数，它刻划了随机变量的某一方面的性质。在这些数字特征中，最常用的是期望和方差这一节主要介绍离散型随机变量的数学期望和方差.

2、引例有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：甲：击中环数8910频率30%10%60%乙：击中环数频率8920%50%1030%问哪一个射手水平较高？问题：平均值可以怎样算？1.已知有n个数x1,x2,⋯xn，则算术平均n2.如果这n个数据中的不同数据有k个且每个数据出现的频数分别是n1,n2,⋯nk则有kkni=1i=1nink=∑xifii=1加权平均1n∑=i1xi1引例解甲：乙：8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3,8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1,可见甲的水平高些。如果已知离散型随机变量X的概率分布，如何求X的平均

3、值？频率稳定值概率kx=∑xifii=1k频率替换为概率+∞x=∑xipi或x=∑xipii=1i=1Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…一、数学期望的定义定义2.5设离型随机变量X的概率分布为P{X=xi}=pi，i=1,2,⋯∞若级数∑xipi绝对收敛，则称之为X的数学期望或均值，记为E(X)，即∞E(X)=∑xipii=1例2.10见教材P53.表2-4例2.11见教材P54.例5例2.12如果X的概率分布列如下XP-10.310.430.31)判断Y=2X+1,Z2）写出其概率分布3）求各自的数学期望2=X是否为离散型随机变量二、数学期望的性

4、质定理2.1设X是一随机变量，g(.)是一实值函数，g(X)也为随机变量。定理2.2设X是一随机变量，分布列为pi=P(X=xi)(i=1,2,…)g(X)E[g(X)]=∑g(xi)pii=1性质2.1E(kX+c)=kE(X)+c1.E(c)=c（数学期望具有线性性质）2.E(X+c)=E(X)+c3.E(kX)=kE(X)如果g(X)的数学期望+∞存在，则g(X)的数学期望为性质2.2推广情形E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X1+X2+⋯+Xn)=E(X1)+E(X2)+⋯+E(Xn)期望值是代表随机变量取值的集中程度的“数量指标”，反应了随机变量的平均

5、值，但数学期望毕竟只能反映平均值，有很大的局限性。在某些场合，仅仅知道平均值是不够的。以手表的日走时误差为例：如果有甲乙两种牌号的手表，它们的日走时误差分别为X1和X2，各具有如下的分布列：⎛X1−101⎞⎝pk0.10.80.1⎠⎧E(X1)=0⎨⎛X2−2−1012⎞⎩E(X2)=0⎝pk0.10.20.40.20.1⎠问题：如何判断两种手表的优劣？⎟⎜⎟⎜是否可以用一个指标来衡量一个随机变量离开它的期望值E(X)的偏离程度？如果X是要讨论的随机变量，E(X)是它的数学期望，这时

6、X−E(X)

7、就衡量了随机变量X和它的期望值E(X)之间偏差的大小。但是绝对值运算有许

8、多不便之处，人们便用[X−E(X)]2去衡量这个偏差。但是[X−E(X)]2是一个随机变量，应该用它的平均值，即用2这个数值来衡量X离开它的平均值E(X)的偏离程度，为此，引入下述定义三、方差的定义定义2.6设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xi}=pi，i=1,2,⋯∞若级数∑(xi−E(X))2pi收敛，则称之为X的方差，记为D(X)，即∞i=122D(X)=∑(xi−E(X))pi=E(X−E(X))例2.13见教材P63.例3例2.14见教材P64.例4定理2.3设X是一随机变量，分布列为pi=P(X=xi)如果其方差存在，则其方差为22例

9、2.15见教材P65.例7(i=1,2,…)四、方差的性质性质2.321.D(c)=02.D(X+c)=02)()(XDkckXD=+（方差不具有线性性质）)()(.3XDkkXD=例2.16见教材P83.例11，例13作业：P84,2.05;P85,2.08