高中数学第二章概率23随机变量的数字特征232离散型随机变量的方差课堂导学案

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1、2.3.2离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的方差【例1】袋屮有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，但不放回原袋中，直到取到白球为止，求取球次数的期望及方差.解析：当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量§是取球次数，因为每次取出的黑球不141再放冋去，所以C的可能值为1,2,3,4,5,易知：P(C=1)=-=O.2,P(C=2)=-•—=0.2,55443143214321P(C=3)=—・—•—=0.2,P(g二4)=—•—・—・—=o.2,P(§=5)=—•—•1=543543254320.2,・・・所求§的概率分布为g12345P0.20.20.20.20.

2、2・・・Eg二1X0.2+2X0.2+3X0.2+4X0.2+5X0.2=3,DC=(l-3)2X0.2+(2-3)仪0.2+(3~3)2X0.2+(4-3)2+(5~3)2X0.2=2.温馨提示求期望和方差的问题关键是求随机变量的分布列，即求每种情况的概率•因此求事件的概率是基础，另外方差可用定义求，也可以用公式：Dn=En2-(En)2求.二、离散型随机变量的方差的作用【例2】A、B两台测量仪器测量一长度为120血的工件时分布列如下：A：1181191201211220.060.140.600.150.05B：1181191201211220.090.150.520.160.08试比较

3、两种仪器的优劣.解析：设随机变量J表示用A仪器测量此产品长度的数值，随机变量S表示用B仪器测量此产品长度的数值，从而有EC产118X0.06+119X0.14+120X0.60+121X0.15+122X0.05=119.99,DC1=(118-119.99)2X0.06+(119-119.99)2X0.14+(120-119.99)2X0.60+(121-119.99)2X0.15+(122-119.99)2X0.05=0.7299,Eg2=118X0.09+119X0.15+120X0.52+121X0.16+122X0.08=119.99,DC2=(118-119.99)2X0.09

4、+(119-119.99)2X0.15+(120-119.99)2X0.52+(121-119.99)2X0.16+(122-119.99)2X0.08=0.9899,由此可知,ECi=EC2,DCi

5、的最大值.Eg解析：随机变量§的所有可能取值为0,1,并且有P(§=1)=P，P(C=0)=l-p,从而EC=0X(l-p)+lXp=p,Dg二(0-p)2X(l-p)+(l-p)2Xp=p-p2.(1)0=p-p2=_(p_p+—)+—_(p—)2+—,24V0

6、升1已知某离散型随机变量X服从下面的二项分布：P(X=k)二Cf0.「0.9，_k(k=0,1,2,3,4),求E(X)和D(X).解析：根据题目知道离散型随机变量X服从参数n二4和p二0.1的二项分布，所以E(X)=np=4X0.1=0.4,D(X)二npq二4X0.1X0.9二0.36.类题演练2一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个选择正确答案得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分.某学生选对任一题的概率为0.6,求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差.解：设该学生在这次数学测试屮选择正确答案的个数为X,所得的分数(成绩)为Y

7、,则Y二4X.由题知X~B(25,0.6),・・・EX二25X0.6=15,DX二25X0.6X0.4=6,EY二E(4X)二4EX二60,DY二D(4X)二4’XDX二16X6=96.答：该学生在这次测验中的期望与方差分别是60与96.点评：审清题意得出)CB(25,0.6)是解本题的重要一步.变式提升22142若X是离散型随机变量，P(g)-,P(X2且心又已知EX—,DX—，则g的值为()31X1+—X2=3B.Z