高中数学第二章概率2.3随机变量的数字特征2.3.2离散型随机变量的方差课堂导学案新人教b版选修2

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1、2.3.2离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的方差【例1】袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,但不放回原袋中,直到取到白球为止,求取球次数的期望及方差.解析:当每次取出的黑球不再放回时,设随机变量ξ是取球次数,因为每次取出的黑球不再放回去,所以ξ的可能值为1,2,3,4,5,易知:P(ξ=1)==0.2,P(ξ=2)=·=0.2,P(ξ=3)=··=0.2,P(ξ=4)=···=0.2,P(ξ=5)=····1=0.2,∴所求ξ的概率分布为ξ12345P0.20.20.20.20.2∴Eξ=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×

2、0.2+5×0.2=3,Dξ=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2+(5-3)2×0.2=2.温馨提示求期望和方差的问题关键是求随机变量的分布列,即求每种情况的概率.因此求事件的概率是基础,另外方差可用定义求,也可以用公式:Dη=Eη2-(Eη)2求.二、离散型随机变量的方差的作用【例2】A、B两台测量仪器测量一长度为120mm的工件时分布列如下:A:1181191201211220.060.140.600.150.05B:1181191201211220.090.150.520.160.08试比较两种仪器的优劣.解析

3、:设随机变量ξ1表示用A仪器测量此产品长度的数值,随机变量ξ2表示用B仪器测量此产品长度的数值,从而有Eξ1=118×0.06+119×0.14+120×0.60+121×0.15+122×0.05=119.99,Dξ1=(118-119.99)2×0.06+(119-119.99)2×0.14+(120-119.99)2×0.60+(121-119.99)2×0.15+(122-119.99)2×0.05=0.7299,Eξ2=118×0.09+119×0.15+120×0.52+121×0.16+122×0.08=119.99,Dξ2=(118-119.9

4、9)2×0.09+(119-119.99)2×0.15+(120-119.99)2×0.52+(121-119.99)2×0.16+(122-119.99)2×0.08=0.9899,由此可知,Eξ1=Eξ2,Dξ1

5、的次数.(1)求方差Dξ的最大值?(2)求的最大值.解析:随机变量ξ的所有可能取值为0,1,并且有P(ξ=1)=p,P(ξ=0)=1-p,从而Eξ=0×(1-p)+1×p=p,Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.(1)Dξ=p-p2=-(p2-p+)+=-(p)2+,∵0

6、析:由题目知X服从二点分布,所以E(X)=p,D(X)=(1-p)2·p+(0-p)2·q=q2p+p2q=pq.这表明在二点分布试验中,离散型随机变量X围绕期望的平均波动大小为pq.变式提升1已知某离散型随机变量X服从下面的二项分布:P(X=k)=0.1k0.94-k(k=0,1,2,3,4),求E(X)和D(X).解析:根据题目知道离散型随机变量X服从参数n=4和p=0.1的二项分布,所以E(X)=np=4×0.1=0.4,D(X)=npq=4×0.1×0.9=0.36.类题演练2一次数学测验由25道选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是

7、正确的,每个选择正确答案得4分,不作出选择或选错不得分,满分100分.某学生选对任一题的概率为0.6,求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差.解:设该学生在这次数学测试中选择正确答案的个数为X,所得的分数(成绩)为Y,则Y=4X.由题知X~B(25,0.6),∴EX=25×0.6=15,DX=25×0.6×0.4=6,EY=E(4X)=4EX=60,DY=D(4X)=42×DX=16×6=96.答:该学生在这次测验中的期望与方差分别是60与96.点评:审清题意得出X~B(25,0.6)是解本题的重要一步.变式提升2若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(

8、X=x2)=,且x1

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