沪教版初二上数学详细讲义

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1、第十六章二次根式第一节二次根式【知识要点】1.二次根式代数式叫做二次根式。读作“根号”,其中叫被开方数.2.二次根式有意义有意义的条件是3.二次根式的性质性质一性质二性质三性质四4.最简二次根式在化简后的二次根式里:(1)被开方数中各因式的指数都为1;(2)被开方数中不含分母.被开方数同时符合上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式.5.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.【学习目标】1.掌握二次根式有意义的条件及性质.2.掌握最简二次根式及同类二次根式.【典型例题】1.二次根式的判定【例1】下列式子中哪些是二次根式?(1)

2、;(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10)【答案】(1)、(3)、(5)、(7)、(8)是二次根式.【分析】二次根式要求根指数为2,所以(4)就不是二次根式,同时二次根式的被开方数必须是非负数,所以(2)、(6)显然不是,(9)中只有当即时,才是二次根式,(10)中只有当时,才是二次根式.2.二次根式有意义的条件【例2】当实数取何值时,下列各式有意义?(1);(2);(3);(4);(5);(6)。【答案】(1);(2)取任何实数;(3);(4);(5)且;(6)。【分析】(1)由,得,所以当时,有意义;(2)无论取什么实数,都有,所以当取任何实数时,都

3、有意义;(3)由,且,得,所以当时,有意义;(4)由,即,得,所以当时,有意义;(5)由且,得且,所以当且时,有意义;(6)由且,即,得,所以当时,有意义;3.二次根式的化简【例3】化简下列二次根式;(1);(2);(3);(4)。【答案】(1);(2);(3);(4)【解答】(1)原式;(2)原式;(3)由且,得,所以原式=;(4)由且,得,所以原式。【例4】下列根式中哪些是最简二次根式?(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7)【答案】(1)、(5)、(7)是最简二次根式.【解析】因为与它们的被开方数中各因式的指数不都是,所以(2)、(6)不是最简二次根式.因为与,它们

4、的被开方数含有分母,所以(3)、(4)不是最简二次根式.4.同类二次根式的判定【例5】下列各式中,哪些是同类二次根式?(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)。【答案】(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7)因为,所以,于是;(8)因为,所以,于是。因此(1)、(5)、(7)是同类二次根式;(3)、(6)是同类二次根式;(4)、(8)是同类二次根式.【基础训练】1.成立的条件是_______________.2.当x________时,式子有意义.3.当a________时,;当a________时,.4.代数式中,字母x的取值范围是________

5、___.5.若,则_____________.6.若m<0,化简=____________.7.若,则_____________.8.下列各式中,是最简二次根式的是()A.B.C.D.9.式子成立的x取值范围为A.B.C.D.x取任意实数10.下列各组式子中,同类二次根式的是().A.B.C.D.11.的值().A.是正数B.是负数C.是非负数D.可为正也可为负12.x<y,那么化简为().A.0B.2yC.-2xD.2y-2x13.化简下列各式:(此题中的字母均为正数)(1)(2)(3)(4)(5)(6)【能力提高】1.化简并计算:己知x,y为实数,且,求: 的值.2.己知  与  

6、是同类根式,求 的值.3.已知,求的值.4.在实数范围内分解因式(1)4x4–1(2)x3-x2-2x+2第二节二次根式的运算【知识要点】1.二次根式的加减法先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式分别合并.2.二次根式的乘除法二次根式的乘法:两个二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变.二次根式的除法:两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变.3.分母有理化把分母中的根号化去,叫做分母有理化.4.有理化因式两个含有二次根式代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式.5.二次根式的混合运算在二次根式运算中,实数运算律、运算性质以及运算

7、性质规定都实用.【学习目标】1.会进行二次根式的四则混合运算.2.会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.【典型例题】1.二次根式的四则混合运算【例1】计算:(1);(2);(3);【答案】(1);(2)(3);【解析】(1)原式;(2)原式=(3)原式;【例2】计算:(1);(2)(其中);【答案】(1);(2)【解析】(1)原式;(2)因为,所以由根式可知,再由根式可知.原式=2.分母有理化【例3】把下列各式分母有理化:(1);(2)。【答

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