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1、§3.2.3利用向量解决平行与垂直问题§323利用向量解决平行与垂直问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想进行【教学目标】：（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数
2、形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。【教学重点】：向量法与坐标法【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”2．平行与垂直关系的向量表示。为学习新知识做准备二、探究新知一、用向量处理平行问题分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量用向量线性表示出。评注：向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条是存在实数对x,使p=xa+b利用共面向
3、量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。（图略）分析：面面平行线面平行线线平行。评注：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。思考：一般应如何建立空间直角坐标系？二、用向量处理垂直问题（图略）分析：线面垂直线线垂直。评注：本题若用一般法证明，容易证A’F垂直于BD，而证A’F垂直于DE，或证A’F垂直于EF则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。例4，证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条
4、斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）已知：如图,B是平面的斜线，为斜足，，A为垂足，求证：证明：例1是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理证明。同时介绍解决问题的向量法。联系共线向量理解。例2是关于面面平行的问题，联系几何定理与向量平行。同时介绍解决问题的坐标法。例3是线面垂直问题，图形和例2一样是正方体，可进一步训练坐标法。让学生体会坐标法的优势。用向量法证明三垂线定理。三、练习巩固分别用向量法和坐标法解决以下问题：向量法：所以，结论成立。坐标法：证明：（图略）巩固知识，培养技能四、小结利用向量解决平行与垂直问题1．向量
5、法：利用向量的概念技巧运算解决问题。2．坐标法：利用数及其运算解决问题。两种方法经常结合起使用。反思归纳五、作业1，直三棱柱中，角AB是直角，A＝1，B＝，侧棱=1，侧面的两条对角线交点为D，的中点为，求证D平面BD。2，本p111第1、3题。练习与测试：（基础题）1，直三棱柱AB—A1B11中，若，则 （ ） A．+－ B．－+ ．－++ D．－+－答：D2，若向量、 （ ） A． B． ． D．以上三种情况都可能答：B3，一空间四边形ABD的
6、对边AB与D，AD与B都互相垂直，用向量证明：A与BD也互相垂直．证明：又，即……① 又，即……② 由①+②得：即4，如图，已知矩形ABD所在平面外一点P，PA⊥平面ABD，E、F分别是AB、P的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； （2）求证：EF⊥D；证：如图，建立空间直角坐标系A－xz，设AB＝2a，B＝2b，PA＝2，则：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，(2a,2b,0)， D(0,2b,0)，P(0,0,2) ∵E为AB的中点，F为P的中点 ∴E(a,0,0)，F(a,b,
7、)(1)∵＝(0,b,)，＝(0,0,2)，＝(0,2b,0) ∴＝(＋)∴与、共面 又∵E&Iul;平面PAD ∴EF∥平面PAD．(2)∵＝(-2a,0,0) ∴•＝(-2a,0,0)•(0,b,)＝0 ∴D⊥EF．（较难题），对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。分析要证明EF、B、AD平行于同一平面DF（E、F分别为AB、D的中点），只要证明相应AE向量EF与AD、B共面即可。B证明：如图，利用多边形加法法则可得，=++，=++…①。又E
8、、F分别是AB、D的中点，故有=-，=-…②将②代入①后，两式相加得2=+，∴=12+12即与、共面，∴EF与AD、B平行于同一平面。注：本题若用立体几何知识去证明
