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1、3.2立体几何中的向量方法（1）方向向量与法向量（2）平行关系（3）垂直关系（4）夹角问题（5）距离问题（6）综合问题（1）方向向量与法向量1、空间中点的位置的确定：点的位置向量lAP2、空间中直线位置的确定：直线的向量式方程PO除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.3、平面的确定：A平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.几点注意：1
2、.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有loxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________平面OABC的一个法向量坐标为___________平面OAA1O1的一个法向量坐标为___________(0,0,1)(1,0,0)oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(1,1,-1)三、简单应用练习1：设
3、直线l，m的方向向量分别为，，根据下列条件判断l，m的位置关系：因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决几何问题3.2立体几何中的向量方法（2）平行关系ml一.平行关系：ααβ例1四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,
4、2),AE//FG证：如图所示,建立空间直角坐标系.//AE与FG不共线几何法呢？例2如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BDDNMABCD!B!C!A!分析:证明线面问题,可利用三种方法:一是证明与平面A1BD的法向量垂直;二是在平面A1BD内找一向量与平行;三是证明可以用平面A1BD中的两不共线向量线性表示.DNMABCD!B!C!A!:建立如图所示的空间直角坐标系.xzy设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A
5、1(1,0,1),B(1,1,0).于是设平面A1BD的法向量是则得取x=1,得y=-1,z=-1,∴方法:证明与平面A1BD的法向量垂直;XYZ三、练习:1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1P=QB，M、N分别为AB1、PQ的中点。求证：MN//平面ABCD。DBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为2，又设A1P=BQ=2x则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)所以向量(-x,x,
6、0)，又平面AC的法向量为(0,0,1)，∴∴又M不在平面AC内，所以MN∥平面AC2、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立体几何法ABCDPEXYZG解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPEXYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：设平面EDB的法向量为3.2立体几何中的向量方法（3）垂直关系lmlAB
7、Cαβ例1：棱长为a的正方体中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：O’C’B’A’OABCEFZxy解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F例2正方体中，E、F分别平面ADE.证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F例2正方体中，E、F分别平面ADE.证明2：,E是AA1中点，例3正方体平面C1BD.证明：E求证：平面EBD设正方体棱
8、长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面C1BD.平面EBD练习：如图所示，PA矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC的中点。（1）求证：MNCD（2）
