备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题72 利用对称性求解正态分布问题 理

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1、专题72利用对称性求解正态分布问题考纲要求:利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.基础知识回顾:1、正态分布：①密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“x∈(－∞，＋∞)”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.②正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度函数为（x∈(－∞，＋∞)，实数μ和σ(σ>0)为参数），称ξ服从

2、参数为μ、σ的正态分布，用表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线。正态分布的期望与方差：若，则ξ的期望与方差分别为：.2．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线对称．(3)曲线在处达到峰值.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．3、标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分

3、布.即9。非标准正态分布与标准正态分布间的关系：若，则，据此可以把非标准正态分布的概率转化为标准正态分布的概率：。4、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P(μ－σ

4、原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则ξ落在内的概率为99.7％亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.应用举例:类型一、正态分布例1【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上学期第一次联考】已知随机变量，且，则（）A.B.C.D.【答案】B例2【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】已知某次数学考试的成绩服从正态分布，则114分以上的成绩所占的百分比为（）（附，，）A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知有,所以，选D.点评：求正态总体

5、在某个区间内取值的概率时应注意：9(1)熟记正态分布的三个常用数据①P(μ－σ

6、误的是（）A.甲类水果的平均质量B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数【答案】D∴δ2≠1.99，故D错误。本题选择D选项.例4【2018届河南省中原名校高三上学期第一次质量考评】9在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次

7、竞赛获奖励的学生约为多少人?附：P（｜X－μ｜＜σ）＝0．683，P（｜X－μ｜＜2σ）＝0．954，P（｜X－μ｜＜3σ）＝0．997【答案】（1）696（2）110点评：解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化．解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用．方法、规律归纳:一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．实战演练:1．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.B.C.D.【答案】C92

8、．设随机变量，若，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题设可知随机变量服从正太分布的图像关于对称，且，则根据对称性可得，所以，应选答案A.3.随机变量服从正态分布，，（）A.0.3180B.0.1590C.0.3410D.0.1690【答案】B【解析】利用正态分布图像的对称性可得：.本题选择B选项.4.【2017届福建省数学基地校】某校在