备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题20破解定积分的简单应用（理）

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1、考纲要求：1、了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分；2、了解定积分的儿何意义，能够实现曲边图形的而积与定积分而积的相互转化.基础知识冋顾：1、曲边梯形的定义我们把由直线x=a,x=b（a^b）yy=0和曲线y=/（%）所围成的图形称为曲边梯形。2、曲边梯形的面积的求法：分割一近似代替（以直代曲）一求和一取极限3、定积分的概念一般地，设函数/（兀）在区间因方］上连续，用分点a=xQ

2、1,2,L,/?）,作和式：心二工——/（《）z=l/=1n如果DJI无限接近于0（亦即“T+oo）时，上述和式S”无限趋近于常数S,那么称该常数Srb为函数于（兀）在区间［a,b］±的定积分。记为：S=［f（x）dx,Ja其中J是积分号，b是积分上限，d是积分下限，/（兀）是被积函数，兀是积分变量，切是积分区间，fgdx是被积式。rb【注】（1）定积分［f（x）dx是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即以Ja无限趋近的常数S（/1T+OO时）记为,而不是S”.（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：〃等分区间②近似代替：取点n&—门rbnh—H《w［心］必］；③

3、求和：£f（$）;④取极限：£/（x）6tx=lim^/（^）i=l"°°/=1“4、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质if幼⑴么2耳：/(对▲伙为常数)(定积分的线性性质)；性质2£［/；(x)±f2(x)］clx=£fx(x)dx±£f2(x)dx(定积分的线性性质)；性质3£f(x)dx=£f(x)dx+f(x)dx(其屮a0,那么定积分表示由直线x=a,x=b(a^by=O和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形(如图屮的阴影部

4、分)的面积。(2)从儿何上看，如果在区间風力］上函数连续且恒有/(%)<0,那么定积分『/(X)必表示由直线x=a,x=h(a^hy=O和曲线fd)所围成的曲边梯形(如图屮的阴影部分)的面积的相反数。(3)从儿何上看，如果在区间囤方］上函数f仗)连续，且函数j=/(x)的图像有一部分在兀轴上方，有一部分在x轴下方，那么定积分J：/(x)dx表示x轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。DFy=码（©*mAo-A叫(4)图中阴影部分的面积［./；(x)-.A(x)］^Ja6^微积分基本定理一般地，如果/(x)是区间⑺力］上的连续函数，并且Fx)=f(x),那么fbIf(

5、x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿一莱布尼茨公式。为了方便，我们常把F(b)—F⑷记成F(琳，即^f(x)dx=F(x)ll=F(h)-F(a)o计算定积分的关键是找到满足F1(X)=f(x)的函数F(x)o7、公式(1)(ex)1=c(2)(sinx)1=cosx(3)(-cosx)1=sinx(4)(旦兀网J=nun(n^-)兄+1(5)(axY=—；x⑹(exY=ex8、定积分的简单应用(1)在几何中的运用：计算图形的面积方法：画图一定域一分割面积一用定积分表示面积一计算(2)在物理屮的应用：fbs=IV(t)dtJarbW=F(x

6、)cbcJa9、求定积分的方法(1)数形结合利用血积求(2)利用微积分基本原理求应用举例：类型一、定积的计算【例1】【2017西四校联考】定积分『2”弘=()A.5B.6C.7A.8【答案】D【解析］x~2x=

7、1o=flx8+c,解得及1=助=一變舍去).【例3】(2013-江西高考)若Sx=ixdx

8、,S2=-dx,&=fedx.则$,$,，的大小关系1Jl1为个:)A.SK$<$B.C.SKSKSD.S〈S«S【答案】B【解析】51=

9、/匚#-Si=lnx；=1宓lne=,&=e=e-e^2.7?—2.7=4.59,类型二、利用定积分求曲边梯形的血积【例4】如图，阴影部分面积是()A.e—e3e+—1eCe+—2e1D.e-e【答案】C【解析】由定积分的定义可得，阴影部分的面积为（ex-e'x）dx=（ex+e'x）^=e+--2.oe本题选择C选项.点睛：利