备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题65利用样本的数字特征估计总体

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1、专题65利用样本的数字特征估计总体考纲要求：1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3•能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.4•会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.5•会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.基础知识回顾：1、样本的抽取：常用的三种抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.2、用样本估计总

2、体：（1）在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布：①作频率分布直方图的步骤如下：（i）求极差；（ii）确定组距和组数；（iii）将数据分组；（iv）列频率分布表；（v）画频率分布直方图.频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状.②频率分布直方图的性质：在频率分布直方图中，小长方形的面积=组距X频率组距=频率.各小长方形的面积之和等于1•小长方形的高=频率1蠶，所有小长方形的高的和为融.③频率分布折线图和总体密度曲线：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.随着样本容量的增加，作图时所分的组数增

3、加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线.（2）茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，给记录和表示都带来方便.（3）用样本的数字特征估计总体的数字特征：样本的标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.通常用样

4、本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差.注：样本的数字特征如表一所示：数:字冊UF定汇众数金——纟4数拥J11・；11王见次数的数扌居II斗作I玄纟11娄攵抑的众数r11位数”务・m数抑按人/J、依次排列•扌巴处在位上t的•个数扮}c股最小

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8、多，最中间，中位数，—（Xj+X2+X3Xn）,nI««—[（X

9、—兀）~+（X）—X）~+（召—X）~+•••+（X”—X）~]n应用举例：类型一：频率分布直方图1、绘制频率分布直方图例1、某屮学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：组别频数频率145.5~149.580.16149.5~153.560.12153.5~157.5140.28157.5~161.100.205161.5~165.580.16165.5169.mn5合计MN（1）求出表中字母m,n,M,N

10、所对应的数值;（2）在直角坐标系中画出频率分布直方图；（3）估计该校高一女生身高在149.5〜165.5cm范围内有多少人？8解析：⑴由题意虧=穴=50,落在区间165.5〜169.5內数据频数戸50-（8+6+14+10+8）=4,频率0.16为n=0.08^总频率朋=1.00・（2）频率分布直方图如下图：（引该所学校高一女生身高在149.5〜165.5cm之间的比例为0.12+0.28+0.204-0.16=0.76,则该校高一女生在此范围内的人数为450X0.76=342（人）・点评：①作频率分布直方图的步骤如下：（i）求极差；（ii）确定

11、组距和组数；（iii）将数据分组；（iv）列频率分布表；（v）画频率分布直方图.2、频率分布直方图的性质例2【2017年福建省数学基地校】某校高一（1）班共有54人，如图是该班期中考试数学成绩的频率分布直方图，则成绩在［100,120］内的学生人数为（）0.030D.D150.0100.005A.36【答案】B【解析】根据频率分布直方图，得成绩在［90,120］內的频率为:1-(0.0154-0.0.010+0.005)x10=0.70,/.2«+0.030=0.70x-L,解得a=0020；・••成绩在［100,120］内的频率为(0030+0

12、.020)x10=0一50,所求的学生人数为54x0.50=27,故选B.例3［2018届四川省(大教育联盟)邻水实验学校高三上第三次力