高级微观06-成本函数与利润最大化 2011

高级微观06-成本函数与利润最大化 2011

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1、管毅平/高级微观经济学/上海交大经管学院硕士生2011-2012-1/20110907始16成本函数与利润最大化生产函数,描述厂商生产的技术可行性。成本函数,描述厂商生产的经济可行性。本章我们将讨论成本函数,尔后是成本最小化,最后是利润最大化问题。6.1成本函数6.1.1总成本函数总成本函数,以条件要素需求值表达:c=c(w,x,y)=wx(w,y)。它描述了厂商从要素需求集中选择成本最小的要素组合的可能性集合。其中,x是投入要素向量;w是要素价格,被假设为既定。6.1.2短期成本函数短期中,投入要素x可以分为:固定要素向量和可变要素向量,于是要素需求x=(,)。效应地,要素价格向

2、量w=(,)。短期成本函数:c=c(w,y,xf)=(w,y,xf)+。上式体现了短期成本函数主要受的影响。于是可推出,短期总成本STC:(w,y,xf)+短期可变成本SVC:(w,y,xf)短期固定成本FC:短期平均成本SAC:c(w,y,xf)/y短期平均可变成本SAVC:(w,y,xf)/y短期平均固定成本SAFC:/y短期边际成本SMC:¶c(w,y,xf)/¶y6.1.3长期成本函数长期平均成本LAC:c(w,x,y)/y长期边际成本LMC:¶c(w,x,y)/¶y8管毅平/高级微观经济学/上海交大经管学院硕士生2011-2012-1/20110907始1短期与长期成本函

3、数的具体例子,如短期与长期的C-D函数,见参2,p.70。例1:短期的C-D成本函数假设柯布—道格拉斯技术中的第二个要素,被限定在k的水平上运作。那么成本最小化问题为min+s.t.y=解约束条件,求出x1作为y和k的函数,得到x1=()因此c(w1,w2,y,k)=w1()+也可以计算出下面的变量:短期平均成本SAC=w1(+短期平均可变成本SAVC=w1(短期平均固定成本SAFC=短期边际成本SMC=例2:如果生产函数显示出规模报酬不变的性质,则成本函数可以写作c(w,y)=yc(w,1)。简单的证明如下:令x*是在价格w下,生产y=1单位的最低廉的投入,则c(w,1)=wx*

4、。因为技术是规模报酬不变的,所以生产y单位的可行产出是yx*。于是,c(w,y)=wyx*=yc(w,1)。由此可知,生产函数为规模报酬不变时,有SAC=SAVC=SMC。8管毅平/高级微观经济学/上海交大经管学院硕士生2011-2012-1/20110907始16.2成本最小化价格既定、产出既定时,追求利润最大化的厂商,必然追求成本最小化,即在可行技术约束下,寻求成本最小的要素组合。6.2.1成本最小化的一阶条件minc(w,y)=wx(w,y)s.t.f(x)=yÞL(λ,x)=wx-λ(f(x)-y)Þ分别就上式对x微分得到一阶条件:Þ-λ=0,Þ-λ=0,Þf(x)=y。Þ

5、所以,/=。上式就是成本最小化的一阶条件。式左是经济替代率,表示成本不变时要素价格之间的替代比率。式右是技术替代率,表示产出不变时要素之间的替代比率。当只有两种要素时,不变的成本方程为c=,等产量线由生产函数y=决定。6.2.2成本最小化的二阶条件见参3,p.54,和我们常见的最优投入要素组合――生产者均衡的图示。(画图,讨论)此图说明了最小化成本的一阶条件。同时,还说明了最小化成本的点的选择,必须满足二阶条件,即等产量线必须不低于等成本线。也即,除了成本最小点之外,在等成本线上的其他任何点进行生产,都会导致产出下降。考虑二种投入要素的生产函数。令(h1,h2)为要素1和2的微小变

6、动,由此引起的产出的相关变动为。假设具有必要的可微性,我们可以写出二阶导数的泰勒展开式8管毅平/高级微观经济学/上海交大经管学院硕士生2011-2012-1/20110907始1++要素投入量的微小变动(h1,h2),使得成本不变,一阶条件得到满足,,图示意义是变动后要素组合的成本仍然在等成本线上。由3本最小化的一阶条件可得(用代替xi):因此,泰勒展开式中的一阶项,对于沿等成本线的移动而言,一定等于零。直观地,在成本最小化点,相切于等成本线的一阶移动,意味着产出保持不变;其二阶移动,意味着产出下降。6.2.3微分法的困难(局限性)(参2,p.56-61)条件要素需求函数x(w,y

7、)。成本函数是在要素价格w和产出水平y下的最小成本:c(w,y)=wx(w,y)。成本最小化的一阶条件是直观的,但是机械地运用它就具有局限性:第一,有些生产函数不可微,微分法不能用。里昂惕夫技术就是一例。第二,成本最小化的一阶条件,仅对可行区域有效,如果成本最小化点出现在可行的边界上,一阶条件必须修正。适当的条件转化为:如果,则;如果,。第三,成本最小化的一阶条件,通常能确定的只是一个局部最小化点,只有要素需求集V(y)为凸,一阶条件才是全局最优的充分条件。6.3成本

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