排列组合精选试题讲解

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1、排列组合精选试题讲解 一．解排列组合题的“16字方针，12个技巧”。（1）“十六字”方针是解排列组合题的基本规律，即分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合．（2）“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径．即①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；⑨至少（或至多）问题的间接法；⑩选排问题先取后排法；⑧局部与整体问题排除法；⑩复杂问题转化法． 二．.在解有限制条件的组合应用题时，要正确理解题目中出现的“至少”“至多”“全是”“有且仅有”“都不是”等词语的含义，使其等价转化，才能正确地分

2、类或用间接法求解．有时还要辩证地看待“元素”和“位置”，其实，元素和位置是解题者视具体情况而定的，是人为的，有时用逆选的方法，用位置去选元素反而会更容易解决，方法二用的是“插板法”，要注意与“插空法”的区别，深刻理解“插板法”的思想，能快速、简捷地处理一部分题目． 【典型例题】例1.为了参加学校的元旦文艺汇演，某班决定从爱好唱歌的4名男同学和5名女同学中选派4名参加小合唱节目，如果要求男女同学至少各选派1名，那么不同的选派方法有多少种？分析：本题主要考查组合数公式、分类讨论的思想方法以及逻辑推理能力、分析问题的能力．可按选派的男同学的个数进行分类，或用间接法求解．解法一：按选派的男同学

3、的人数分三类：①选派一名男同学，三名女同学，有种方法；②选派两名男同学，两名女同学，有种方法；③选派三名男同学，一名女同学，有种方法；由分类计数原理，共有不同的选派方法40＋60＋20＝120种．解法二：在这九名同学中任选四名，有种方法．其中四人都是男同学的有种方法；四人都是女同学的有种方法，因此符合要求的选派方法有126－1－5＝120种．注意：易列出错式，即先男女各选1人，再从余下7人中选2人，造成重复．点评：有限制条件的组合应用题的限制条件主要表现在被选出的元素“含”或“不含”某些元素，或是“至少”“至多”等类型的组合问题，对于这类组合应用题解题的总体思路为：（1）用直接法一般是

4、从整体分类，然后再局部分步，对于较复杂的从若干个集合里选元素的问题，首先应以其中一个集合为基准进行分类（当然，为了使类别尽量少，这个集合里的元素较少为好），分类时要做到不重不漏，也就是各类的并集是全集，任意两类的交集为空集，在合理正确分类的前提下，在每一类中，依据题目中的要求进行分步，分步要做到步步连续，各步之间相互独立．（2）用间接法当正面求解较为困难时，也可采用正难则反的思想用“间接法”求解，但要注意找准对立面．本例的一个常见错误解法是：先从4名男同学中选出1名，有种选法．从5名女同学中选出1名，有种选法，再在剩下的7名同学中选出2名，有种选法，由分步计数原理得，共有＝420种选派

5、方法：这种看似不错的解法产生重复（因为分步计数是有顺序的），避免产生重复的最好方法就是分类，先分类后分步是解排列组合应用题时应遵循的原则之一。  例2.在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件．（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解析：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有（种）（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有（种）。（3）解法1：从100

6、件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和2件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有（种）。解法2：抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即（种）  例3.一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人，问：（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做

7、这件事？分析：对于（1），根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出n个元素的组合问题；对于（2），守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解析：（1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有＝12376（种）。（2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有＝12376种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守