排列组合例题讲解

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1、排列组合例题讲解1例1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有()(A)5种(B)6种(C)7种(D)8种解法一记购买的软件数为x，磁盘数为y，依题意x,y∈Zx≥3,y≥260x＋70y≤500当x＝3时，y＝2，3，4；当x＝4时，y＝2，3；当x＝5时，y＝2；当x＝6时，y＝2.上述的不等式组共有7组解，故不同的选购方式共有7种，选C．解法二依题意，(x，y)是在坐标平面上，位于三条直线L1：x＝3，L2：y＝2，L3：60x＋70y=500围成的三角形的边界

2、及内部的点(坐标均为整数的点)，如图7－2－1，这样的点共有7个，故选C．评述这是一个计数的应用问题，解法一转化为求不等式组的整数解的个数；解法二转化求坐标平面上特定区域内的整点个数．事实上，两种解法最终都采用了穷举法．这是解决计数问题的基本方法之一．例2．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄,为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？×○○○○○○×○○×○○○○○○○×○×○○○○○○○○×○×○○○○○○×○○×○○○○○○○×○○×○○○○○○×解法一如表格所示，用×表示种植作物的地垄，О表示

3、未种植作物的地垄，则不同的选垄方法共有6种，由于A、B是两种作物，故不同的种植方法共有12种．解法二选垄方法可分为三类：第一类间隔为6垄，有1－8，2－9，3－10三种选法；第二类间隔为7垄，有1－9，2－10两种选法；第三类间隔为8垄，只有1－10种选法，故选垄方法共6种，种植方法共12种．评述这是一个计数的应用问题，解法一采用了画框图的方法；解法二直接应用加法原理和乘法原理．若将例1和例2判定为排列与组合的问题，并布列含排列数或组合数的算式，反而会将对问题的思考复杂化，难以得出正确的结论，由此可见，不应把计数问题都简单归结为排列和组合的问题，也不能只通过计算排列数或组合数求

4、解．例3．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)甲排中间；(2)甲不排在两端；(3)甲、乙相邻；(4)甲在乙的左边(不一定相邻)；(5)甲、乙、丙两两不相邻．解：(1)甲排中间，其余6人任意排列，故共有＝720种不同排法．(2)若甲排在左端或右端，各有种排法，故甲不排在两端共有＝3600种不同排法．(3)法一：先由甲与除乙以外的5人(共6人)任意排列，再将乙排在甲的左侧或右侧(相邻)，故共有·＝1440种不同排法．法二：先将甲、乙合成为一个“元素”，连同其余5人共6个“元素”任意排列，再由甲、乙交换位置，故共有·＝1440种不同排法．(4)在7人排成一行形成

5、的种排法中，“甲左乙右”与“甲右乙左”的排法是一一对应的(其余各人位置不变)，故甲在乙的左边的不同排法共有＝2520种不同解法．(5)先由除甲、乙、丙以外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”，再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，每“空”1人，故共有＝1440种不同的排法．评述这是一组排队的应用问题，是一类典型的排列问题，附加的限制条件常是定位与限位，相邻与不相邻，左右或前后等．例4．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：(1)5的倍数；(2)比20300大的数；(3)不含数字0，且1，2不相邻的数．解：(1)5的倍数可分

6、为两类：个位数的位置上的数字是0或5，个位数字是0的五位数有个；个位数字是5的五位数有4个；故5的倍数共有＋4＝216个(2)比20300大的五位数可分为三类：第一类：3××××，4××××，5××××；有3个；第二类：21×××，23×××，24×××，25×××，有4个；第三类：203××，204××，205××，有3个．故比20300大的五位数共有3＋4＋3＝474个．(3)组成不含数字0，且1，2不相邻的数可分为两步，第一步：将3，4，5三个数字排成一行；第二步：将1，2插入第一步所形成四个“空”中的两个“空”，故共有＝72个．评述这是一组组成无重复数字的多位数的排数问

7、题，也是一类典型的排列问题，常见的附加条件是倍数关系，大小关系、相邻关系等．应当注意的是排队问题不会有元素重复的问题，而排数问题必须规定无重复数字才是排列问题．例5四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有()(A)150种(B)147种(C)144种(D)141种分析取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法．解在10个点中任取4点，有种取法，取出的4点共面有三类(如图7－2－3)．第一类：共四